Theorem ordgt0ge1 8531

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6434	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 7837	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 688	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 8504	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	sseq1i 4020	. 2 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	bitr4di 288	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3959  ∅c0 4335  Ord word 6379  Oncon0 6380  suc csuc 6382  1_oc1o 8497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2062  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-tr 5274  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-1o 8504

This theorem is referenced by:  ordge1n0  8532  oe0m1  8559  omword1  8611  omword2  8612  omlimcl  8616  oen0  8624  oewordi  8629  oe0rif  43022