Theorem ordgt0ge1 8510

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6412	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 7819	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 8485	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	sseq1i 3992	. 2 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	bitr4di 289	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  1_oc1o 8478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-1o 8485

This theorem is referenced by:  ordge1n0  8511  oe0m1  8538  omword1  8590  omword2  8591  omlimcl  8595  oen0  8603  oewordi  8608  oe0rif  43276