Theorem ordgt0ge1 8423

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6374	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 7766	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 8400	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
5	4	sseq1i 3951	. 2 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	bitr4di 289	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  Ord word 6318  Oncon0 6319  suc csuc 6321  1_oc1o 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-ord 6322  df-on 6323  df-suc 6325  df-1o 8400

This theorem is referenced by:  ordge1n0  8424  oe0m1  8451  omword1  8503  omword2  8504  omlimcl  8508  oen0  8517  oewordi  8522  oe0rif  43735