Theorem mapdjuen 10180

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9903	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2	1	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3		snex 5412	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpexg 7755	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7		snex 5412	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpexg 7755	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		xp01disjl 8483	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14		mapunen 9141	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
15	6, 10, 11, 13, 14	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
16	2, 15	eqbrtrid 5148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
17		enrefg 8987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
18	11, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
19		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
20		xpsnen2g 9065	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
21	19, 4, 20	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22		mapen 9136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
24		1on 8472	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
25		xpsnen2g 9065	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
26	24, 8, 25	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27		mapen 9136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	18, 26, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29		xpen 9135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
31		entr 9009	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶))) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
32	16, 30, 31	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  Oncon0 6364  (class class class)co 7419  1_oc1o 8452   ↑_m cmap 8830   ≈ cen 8946   ⊔ cdju 9900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-dju 9903

This theorem is used by:  pwdjuen  10181