Theorem mapdjuen 10110

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9830	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2	1	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3		snex 5386	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpexg 7706	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7		snex 5386	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpexg 7706	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		xp01disjl 8433	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14		mapunen 9087	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
15	6, 10, 11, 13, 14	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
16	2, 15	eqbrtrid 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
17		enrefg 8932	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
18	11, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
19		0ex 5257	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
20		xpsnen2g 9011	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
21	19, 4, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22		mapen 9082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
24		1on 8423	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
25		xpsnen2g 9011	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
26	24, 8, 25	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27		mapen 9082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	18, 26, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29		xpen 9081	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
31		entr 8954	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶))) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
32	16, 30, 31	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  {csn 4585   class class class wbr 5102   × cxp 5629  Oncon0 6320  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776   ≈ cen 8892   ⊔ cdju 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-dju 9830

This theorem is referenced by:  pwdjuen  10111