Theorem mapdjuen 10200

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9920	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2	1	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3		snex 5411	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpexg 7749	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7		snex 5411	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpexg 7749	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		xp01disjl 8509	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14		mapunen 9165	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
15	6, 10, 11, 13, 14	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
16	2, 15	eqbrtrid 5159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
17		enrefg 9003	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
18	11, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
19		0ex 5282	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
20		xpsnen2g 9084	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
21	19, 4, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22		mapen 9160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
24		1on 8497	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
25		xpsnen2g 9084	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
26	24, 8, 25	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27		mapen 9160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	18, 26, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29		xpen 9159	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
31		entr 9025	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶))) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
32	16, 30, 31	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5124   × cxp 5657  Oncon0 6357  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478   ↑_m cmap 8845   ≈ cen 8961   ⊔ cdju 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-dju 9920

This theorem is referenced by:  pwdjuen  10201