Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdjuen 9640
 Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen
StepHypRef Expression
1 df-dju 9363 . . . 4 (𝐵𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
21oveq2i 7161 . . 3 (𝐴m (𝐵𝐶)) = (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3 snex 5300 . . . . 5 {∅} ∈ V
4 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵𝑊)
5 xpexg 7471 . . . . 5 (({∅} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
63, 4, 5sylancr 590 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7 snex 5300 . . . . 5 {1o} ∈ V
8 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
9 xpexg 7471 . . . . 5 (({1o} ∈ V ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
107, 8, 9sylancr 590 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝑉)
12 xp01disjl 8131 . . . . 5 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14 mapunen 8708 . . . 4 (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
156, 10, 11, 13, 14syl31anc 1370 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
162, 15eqbrtrid 5067 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
17 enrefg 8559 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
1811, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝐴)
19 0ex 5177 . . . . 5 ∅ ∈ V
20 xpsnen2g 8631 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
2119, 4, 20sylancr 590 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22 mapen 8703 . . . 4 ((𝐴𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵))
2318, 21, 22syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵))
24 1on 8119 . . . . 5 1o ∈ On
25 xpsnen2g 8631 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
2624, 8, 25sylancr 590 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27 mapen 8703 . . . 4 ((𝐴𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶))
2818, 26, 27syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶))
29 xpen 8702 . . 3 (((𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵) ∧ (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶)) → ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 587 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
31 entr 8579 . 2 (((𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶))) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
3216, 30, 31syl2anc 587 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  {csn 4522   class class class wbr 5032   × cxp 5522  Oncon0 6169  (class class class)co 7150  1oc1o 8105   ↑m cmap 8416   ≈ cen 8524   ⊔ cdju 9360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-dju 9363 This theorem is referenced by:  pwdjuen  9641
 Copyright terms: Public domain W3C validator