Theorem mapdjuen 10298

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 10019	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2	1	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpexg 7796	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpexg 7796	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		xp01disjl 8538	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14		mapunen 9203	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
15	6, 10, 11, 13, 14	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
16	2, 15	eqbrtrid 5146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
17		enrefg 9049	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
18	11, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
19		0ex 5267	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
20		xpsnen2g 9127	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
21	19, 4, 20	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22		mapen 9198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
24		1on 8527	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
25		xpsnen2g 9127	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
26	24, 8, 25	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27		mapen 9198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	18, 26, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29		xpen 9197	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
31		entr 9071	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶))) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
32	16, 30, 31	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  Oncon0 6388  (class class class)co 7451  1_oc1o 8507   ↑_m cmap 8885   ≈ cen 9008   ⊔ cdju 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-dju 10019

This theorem is used by:  pwdjuen  10299