Theorem mapdjuen 10259

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9982	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2	1	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3		snex 5397	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
4		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpexg 7764	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7		snex 5397	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpexg 7764	. . . . 5 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		xp01disjl 8500	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14		mapunen 9165	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
15	6, 10, 11, 13, 14	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
16	2, 15	eqbrtrid 5140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))))
17		enrefg 9011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
18	11, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
19		0ex 5261	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
20		xpsnen2g 9089	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
21	19, 4, 20	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22		mapen 9160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵))
24		1on 8489	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
25		xpsnen2g 9089	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
26	24, 8, 25	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27		mapen 9160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	18, 26, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29		xpen 9159	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴 ↑m 𝐶)) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
31		entr 9033	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴 ↑m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴 ↑m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶))) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))
32	16, 30, 31	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ↑m (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 ↑m 𝐵) × (𝐴 ↑m 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  Oncon0 6362  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ↑_m cmap 8847   ≈ cen 8970   ⊔ cdju 9979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-dju 9982

This theorem is used by:  pwdjuen  10260