MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdjuen 10219
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. Theorem 6I(4) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))

Proof of Theorem mapdjuen
StepHypRef Expression
1 df-dju 9939 . . . 4 (𝐵𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
21oveq2i 7442 . . 3 (𝐴m (𝐵𝐶)) = (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
3 snex 5442 . . . . 5 {∅} ∈ V
4 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵𝑊)
5 xpexg 7769 . . . . 5 (({∅} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
63, 4, 5sylancr 587 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
7 snex 5442 . . . . 5 {1o} ∈ V
8 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
9 xpexg 7769 . . . . 5 (({1o} ∈ V ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
107, 8, 9sylancr 587 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
11 simp1 1135 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝑉)
12 xp01disjl 8529 . . . . 5 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅)
14 mapunen 9185 . . . 4 (((({∅} × 𝐵) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅) → (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
156, 10, 11, 13, 14syl31anc 1372 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
162, 15eqbrtrid 5183 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))))
17 enrefg 9023 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
1811, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝐴)
19 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
20 xpsnen2g 9104 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
2119, 4, 20sylancr 587 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
22 mapen 9180 . . . 4 ((𝐴𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵))
2318, 21, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵))
24 1on 8517 . . . . 5 1o ∈ On
25 xpsnen2g 9104 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
2624, 8, 25sylancr 587 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
27 mapen 9180 . . . 4 ((𝐴𝐴 ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶))
2818, 26, 27syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶))
29 xpen 9179 . . 3 (((𝐴m ({∅} × 𝐵)) ≈ (𝐴m 𝐵) ∧ (𝐴m ({1o} × 𝐶)) ≈ (𝐴m 𝐶)) → ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
31 entr 9045 . 2 (((𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ∧ ((𝐴m ({∅} × 𝐵)) × (𝐴m ({1o} × 𝐶))) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶))) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
3216, 30, 31syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴m (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴m 𝐵) × (𝐴m 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  m cmap 8865  cen 8981  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  pwdjuen  10220
  Copyright terms: Public domain W3C validator