Theorem endjudisj 10209

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9941	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		xpsnen2g 9105	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5		1on 8518	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
6		xpsnen2g 9105	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	4, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵))
9		xp01disjl 8530	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
10	9	jctl 523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
11		unen 9086	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
12	8, 10, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14	1, 13	eqbrtrid 5178	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982   ⊔ cdju 9938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dju 9941

This theorem is referenced by:  djuenun  10211  dju0en  10216  ficardun  10241  ackbij1lem9  10267  canthp1lem1  10692