Theorem endjudisj 10238

Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
endjudisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem endjudisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9970	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0ex 5325	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		xpsnen2g 9131	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4	2, 3	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5		1on 8534	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
6		xpsnen2g 9131	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
8	4, 7	anim12i 612	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵))
9		xp01disjl 8548	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
10	9	jctl 523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
11		unen 9112	. . . 4 ⊢ (((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
12	8, 10, 11	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14	1, 13	eqbrtrid 5201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698  Oncon0 6395  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000   ⊔ cdju 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dju 9970

This theorem is referenced by:  djuenun  10240  dju0en  10245  ficardun  10270  ackbij1lem9  10296  canthp1lem1  10721