Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endjudisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem endjudisj 9440
 Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
endjudisj ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem endjudisj
StepHypRef Expression
1 df-dju 9176 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 0ex 5102 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 xpsnen2g 8457 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
42, 3mpan 686 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5 1on 7960 . . . . . 6 1o ∈ On
6 xpsnen2g 8457 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
75, 6mpan 686 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
84, 7anim12i 612 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵))
9 xp01disjl 7972 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
109jctl 524 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅))
11 unen 8444 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
128, 10, 11syl2an 595 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
13123impa 1103 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
141, 13eqbrtrid 4997 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858  ∅c0 4211  {csn 4472   class class class wbr 4962   × cxp 5441  Oncon0 6066  1oc1o 7946   ≈ cen 8354   ⊔ cdju 9173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dju 9176 This theorem is referenced by:  djuenun  9442  dju0en  9447  ficardun  9470  ackbij1lem9  9496  canthp1lem1  9920
 Copyright terms: Public domain W3C validator