MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endjudisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem endjudisj 10160
Description: Equinumerosity of a disjoint union and a union of two disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
endjudisj ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem endjudisj
StepHypRef Expression
1 df-dju 9893 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 0ex 5307 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 xpsnen2g 9062 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
42, 3mpan 689 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5 1on 8475 . . . . . 6 1o ∈ On
6 xpsnen2g 9062 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
75, 6mpan 689 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
84, 7anim12i 614 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵))
9 xp01disjl 8489 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅
109jctl 525 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅))
11 unen 9043 . . . 4 (((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 𝐵)) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
128, 10, 11syl2an 597 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
13123impa 1111 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
141, 13eqbrtrid 5183 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6362  1oc1o 8456  cen 8933  cdju 9890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dju 9893
This theorem is referenced by:  djuenun  10162  dju0en  10167  ficardun  10192  ficardunOLD  10193  ackbij1lem9  10220  canthp1lem1  10644
  Copyright terms: Public domain W3C validator