Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem56 40900
Description: Derivative of the 𝐾 function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem56.a (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
fourierdlem56.r4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
21difss2d 3883 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
32sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4 1ex 10247 . . . . . . . 8 1 ∈ V
5 ovex 6842 . . . . . . . 8 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
64, 5ifex 4300 . . . . . . 7 if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V)
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98fvmpt2 6454 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
103, 7, 9syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
1211neneqd 2937 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
1312iffalsed 4241 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14 elioore 12418 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1514adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1615recnd 10280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
1716halfcld 11489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1817sincld 15079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
19 2cnd 11305 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20 fourierdlem44 40889 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
213, 11, 20syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
22 2ne0 11325 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 11044 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2) = (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)))
2518, 19mulcomd 10273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
2625oveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
2724, 26eqtr2d 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2810, 13, 273eqtrd 2798 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2928mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2)))
3029oveq2d 6830 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))))
31 reelprrecn 10240 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3316, 18, 21divcld 11013 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
34 1red 10267 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3515rehalfcld 11491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3635resincld 15092 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10282 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3835recoscld 15093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3934rehalfcld 11491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
4038, 39remulcld 10282 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140, 15remulcld 10282 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 10670 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
4336resqcld 13249 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ∈ ℝ)
44 2z 11621 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
4544a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
4618, 21, 45expne0d 13228 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ≠ 0)
4742, 43, 46redivcld 11065 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
48 1cnd 10268 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
49 recn 10238 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5049adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
51 1red 10267 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5232dvmptid 23939 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
53 ioossre 12448 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
55 eqid 2760 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5655tgioo2 22827 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
57 iooretop 22790 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
5857a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 23945 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
60 elsni 4338 . . . . . . 7 ((sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} → (sin‘(𝑠 / 2)) = 0)
6160necon3ai 2957 . . . . . 6 ((sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0 → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6221, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6318, 62eldifd 3726 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6417coscld 15080 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6548halfcld 11489 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 10272 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℂ)
67 cnelprrecn 10241 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
6867a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
69 sinf 15073 . . . . . . 7 sin:ℂ⟶ℂ
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
7170ffvelrnda 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
72 cosf 15074 . . . . . . 7 cos:ℂ⟶ℂ
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
7473ffvelrnda 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
75 2cnd 11305 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7622a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 23947 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)))
78 ffn 6206 . . . . . . . . . . 11 (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sin Fn ℂ
80 dffn5 6404 . . . . . . . . . 10 (sin Fn ℂ ↔ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
8179, 80mpbi 220 . . . . . . . . 9 sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
8281eqcomi 2769 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) = sin
8382oveq2i 6825 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (ℂ D sin)
84 dvsin 23964 . . . . . . 7 (ℂ D sin) = cos
85 ffn 6206 . . . . . . . . 9 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn ℂ
87 dffn5 6404 . . . . . . . 8 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
8886, 87mpbi 220 . . . . . . 7 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
8983, 84, 883eqtri 2786 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
9089a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
91 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝑠 / 2)))
92 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 23954 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2))))
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 23956 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2))))
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 23947 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
9614recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
9796halfcld 11489 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
9897sincld 15079 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
9998mulid2d 10270 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) = (sin‘(𝑠 / 2)))
10097coscld 15080 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
101 2cnd 11305 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ≠ 0)
103100, 101, 102divrecd 11016 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) = ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)))
104103eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) = ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2))
105104oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) = (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠))
10699, 105oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) = ((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)))
107106oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) = (((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)))
108107oveq1d 6829 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2) = ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
109108mpteq2ia 4892 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
110109a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
11130, 95, 1103eqtrd 2798 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  cmpt 4881  ran crn 5267   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  cz 11589  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  cexp 13074  sincsin 15013  cosccos 15014  πcpi 15016  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  fldccnfld 19968   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-t1 21340  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator