MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem3 14605
Description: Lemma for iseralt 14606. From iseraltlem2 14604, we have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) and (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1), and we also have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) for each 𝑛 by the definition of the partial sum 𝑆, so combining the inequalities we get (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝐺(𝑛 + 2𝑘 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) + 𝐺(𝑛 + 1), so ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1) and ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if 𝐺 converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseraltlem3 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem3
StepHypRef Expression
1 neg1rr 11309 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
3 neg1ne0 11310 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
43a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
5 iseralt.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 uzssz 11891 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
75, 6eqsstri 3768 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
8 simp2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁𝑍)
97, 8sseldi 3734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
102, 4, 9reexpclzd 13220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
1110recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12 iseralt.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 iseralt.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ∈ ℝ)
153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ≠ 0)
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
177, 16sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
1814, 15, 17reexpclzd 13220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
19 iseralt.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2118, 20remulcld 10254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
2213, 21eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
235, 12, 22serfre 13016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
24233ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
258, 5syl6eleq 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
26 2nn0 11493 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
27 simp3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28 nn0mulcl 11513 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
2926, 27, 28sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
30 uzaddcl 11929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ𝑀))
3125, 29, 30syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ𝑀))
3231, 5syl6eleqr 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍)
3324, 32ffvelrnd 6515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℝ)
3433recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℂ)
3524, 8ffvelrnd 6515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
3635recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3711, 34, 36subdid 10670 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
3837fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
3933, 35resubcld 10642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
4039recnd 10252 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
4111, 40absmuld 14384 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
4238, 41eqtr3d 2788 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
432recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
44 absexpz 14236 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
4543, 4, 9, 44syl3anc 1473 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
46 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4746absnegi 14330 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
48 abs1 14228 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
4947, 48eqtri 2774 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
5049oveq1i 6815 . . . . . . 7 ((abs‘-1)↑𝑁) = (1↑𝑁)
51 1exp 13075 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
529, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
5350, 52syl5eq 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘-1)↑𝑁) = 1)
5445, 53eqtrd 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = 1)
5554oveq1d 6820 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
5640abscld 14366 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
5756recnd 10252 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
5857mulid2d 10242 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
5942, 55, 583eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
6010, 35remulcld 10254 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
61193ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
625peano2uzs 11927 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
63623ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
6461, 63ffvelrnd 6515 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
6560, 64resubcld 10642 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
665peano2uzs 11927 . . . . . . . 8 ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍 → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
6732, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
6824, 67ffvelrnd 6515 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
6910, 68remulcld 10254 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
7010, 33remulcld 10254 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∈ ℝ)
71 seqp1 13002 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
7225, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
7313ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
74733ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
75 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
76 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑁 + 1)))
77 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
7876, 77oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
7975, 78eqeq12d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
8079rspcv 3437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
8163, 74, 80sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
8281oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
8343, 4, 9expp1zd 13203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = ((-1↑𝑁) · -1))
84 neg1cn 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
85 mulcom 10206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-1↑𝑁) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
8611, 84, 85sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
8711mulm1d 10666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑𝑁)) = -(-1↑𝑁))
8883, 86, 873eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = -(-1↑𝑁))
8988oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
9064recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
9111, 90mulneg1d 10667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
9289, 91eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
9392oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
9472, 82, 933eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
9510, 64remulcld 10254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
9695recnd 10252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
9736, 96negsubd 10582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
9894, 97eqtrd 2786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
9998oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
10011, 36, 96subdid 10670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
1019zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1021012timesd 11459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
103102oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
104 2z 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
106 expmulz 13092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
10743, 4, 105, 9, 106syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
108103, 107eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
109 neg1sqe1 13145 . . . . . . . . . . . . 13 (-1↑2) = 1
110109oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑2)↑𝑁) = (1↑𝑁)
111108, 110syl6eq 2802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (1↑𝑁))
112 expaddz 13090 . . . . . . . . . . . 12 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
11343, 4, 9, 9, 112syl22anc 1474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
114111, 113, 523eqtr3d 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
115114oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
11611, 11, 90mulassd 10247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
11790mulid2d 10242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
118115, 116, 1173eqtr3d 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
119118oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
12099, 100, 1193eqtrd 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
121 iseralt.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
122 iseralt.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
1235, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 14604 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
12462, 123syl3an2 1167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
125 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
12629nn0cnd 11537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
127101, 125, 126add32d 10447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)) = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))
128127fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
12988, 128oveq12d 6823 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
13088oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
131124, 129, 1303brtr3d 4827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
13268recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
13311, 132mulneg1d 10667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
13424, 63ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135134recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13611, 135mulneg1d 10667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
137131, 133, 1363brtr3d 4827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
13810, 134remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
139138, 69lenegd 10790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ↔ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
140137, 139mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
141120, 140eqbrtrrd 4820 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
142 seqp1 13002 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
14331, 142syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
144 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
145 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
146 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
147145, 146oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
148144, 147eqeq12d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
149148rspcv 3437 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
15067, 74, 149sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
1517, 63sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
15229nn0zd 11664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
153 expaddz 13090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
15443, 4, 151, 152, 153syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
15527nn0zd 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
156 expmulz 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
15743, 4, 105, 155, 156syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
158109oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑𝐾) = (1↑𝐾)
159 1exp 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
160155, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝐾) = 1)
161158, 160syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑𝐾) = 1)
162157, 161eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = 1)
16388, 162oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
164154, 163eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
165127oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
16611negcld 10563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → -(-1↑𝑁) ∈ ℂ)
167166mulid1d 10241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · 1) = -(-1↑𝑁))
168164, 165, 1673eqtr3d 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -(-1↑𝑁))
169168oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
17061, 67ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
171170recnd 10252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
17211, 171mulneg1d 10667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
173150, 169, 1723eqtrd 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
174173oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
17510, 170remulcld 10254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
176175recnd 10252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℂ)
17734, 176negsubd 10582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
178143, 174, 1773eqtrd 2790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
179178oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
18011, 34, 176subdid 10670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
181114oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
18211, 11, 171mulassd 10247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
183171mulid2d 10242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
184181, 182, 1833eqtr3d 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
185184oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
186179, 180, 1853eqtrd 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
187 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 𝜑)
1885, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 14603 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
189187, 67, 188syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
19070, 170subge02d 10803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ↔ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))))
191189, 190mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
192186, 191eqbrtrd 4818 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
19365, 69, 70, 141, 192letrd 10378 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
19460, 64readdcld 10253 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
1955, 12, 19, 121, 122, 13iseraltlem2 14604 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
1965, 12, 19, 121, 122iseraltlem1 14603 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
197187, 63, 196syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
19860, 64addge01d 10799 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
199197, 198mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
20070, 60, 194, 195, 199letrd 10378 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
20170, 60, 64absdifled 14364 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
202193, 200, 201mpbir2and 995 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
20359, 202eqbrtrrd 4820 . 2 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
20411, 132, 36subdid 10670 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
205204fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
20668, 35resubcld 10642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
207206recnd 10252 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
20811, 207absmuld 14384 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
209205, 208eqtr3d 2788 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
21054oveq1d 6820 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
211207abscld 14366 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
212211recnd 10252 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
213212mulid2d 10242 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
214209, 210, 2133eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
21569, 70, 194, 192, 200letrd 10378 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
21669, 60, 64absdifled 14364 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
217141, 215, 216mpbir2and 995 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
218214, 217eqbrtrrd 4820 . 2 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
219203, 218jca 555 1 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042   class class class wbr 4796  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  seqcseq 12987  cexp 13046  abscabs 14165  cli 14406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411
This theorem is referenced by:  iseralt  14606
  Copyright terms: Public domain W3C validator