Theorem 0e0icopnf 10364

Description: 0 is a member of ( 0 [,) +oo ) (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0e0icopnf	|- 0 e. ( 0 [,) +oo )

Proof of Theorem 0e0icopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8320	. 2 |- 0 e. RR
2		0le0 9376	. 2 |- 0 <_ 0
3		elrege0 10361	. 2 |- ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	1 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )

Syntax hints:   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   RRcr 8172   0cc0 8173   +oocpnf 8351   <_ cle 8355   [,)cico 10275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-ico 10279

This theorem is referenced by:  fsumge0  12209  rege0subm  14904