Theorem elxrge0 10359

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1011	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
2		0xr 8362	. . 3 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 8368	. . 3 |- +oo e. RR*
4		elicc1 10305	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) )
6		pnfge 10170	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A <_ +oo )
8	7	pm4.71i 395	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
9	1, 5, 8	3bitr4i 212	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   0cc0 8169   +oocpnf 8347   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   [,]cicc 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-rnegex 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-icc 10276

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  10361  ge0xaddcl  10364  psmetxrge0  15356  isxmet2d  15372  comet  15523  bdxmet  15525