Theorem elxrge0 10203

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1004	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
2		0xr 8216	. . 3 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 8222	. . 3 |- +oo e. RR*
4		elicc1 10149	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) )
6		pnfge 10014	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A <_ +oo )
8	7	pm4.71i 391	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
9	1, 5, 8	3bitr4i 212	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   0cc0 8022   +oocpnf 8201   RR*cxr 8203   <_ cle 8205   [,]cicc 10116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-rnegex 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-icc 10120

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  10205  ge0xaddcl  10208  psmetxrge0  15046  isxmet2d  15062  comet  15213  bdxmet  15215