Theorem elxrge0 9864

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 965	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
2		0xr 7907	. . 3 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 7913	. . 3 |- +oo e. RR*
4		elicc1 9810	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 423	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) )
6		pnfge 9678	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A <_ +oo )
8	7	pm4.71i 389	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
9	1, 5, 8	3bitr4i 211	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818   0cc0 7715   +oocpnf 7892   RR*cxr 7894   <_ cle 7896   [,]cicc 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1re 7809  ax-addrcl 7812  ax-rnegex 7824

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-icc 9781

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  9866  ge0xaddcl  9869  psmetxrge0  12692  isxmet2d  12708  comet  12859  bdxmet  12861