ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Unicode version

Theorem elxrge0 9328
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 924 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
2 0xr 7478 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 7484 . . 3  |- +oo  e.  RR*
4 elicc1 9274 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 417 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_ +oo )
)
6 pnfge 9191 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
76adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_ +oo )
87pm4.71i 383 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_ +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 210 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 922    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   0cc0 7294   +oocpnf 7463   RR*cxr 7465    <_ cle 7467   [,]cicc 9241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1re 7383  ax-addrcl 7386  ax-rnegex 7398
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-icc 9245
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  9330
  Copyright terms: Public domain W3C validator