Theorem elxrge0 10100

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 983	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
2		0xr 8119	. . 3 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 8125	. . 3 |- +oo e. RR*
4		elicc1 10046	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) )
6		pnfge 9911	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A <_ +oo )
8	7	pm4.71i 391	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
9	1, 5, 8	3bitr4i 212	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   0cc0 7925   +oocpnf 8104   RR*cxr 8106   <_ cle 8108   [,]cicc 10013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-icc 10017

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  10102  ge0xaddcl  10105  psmetxrge0  14804  isxmet2d  14820  comet  14971  bdxmet  14973