Theorem rege0subm 13854

Description: The nonnegative reals form a submonoid of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rege0subm	|- ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld )

Proof of Theorem rege0subm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 9996	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2	1	sseli 3166	. . 3 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	recnd 8005	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC )
4		ge0addcl 10000	. 2 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
5		0e0icopnf 9998	. 2 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
6	3, 4, 5	cnsubmlem 13848	1 |- ( 0 [,) +oo ) e. (SubMnd ` ℂfld )

Syntax hints:   e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   RRcr 7829   0cc0 7830   +oocpnf 8008   [,)cico 9909  SubMndcsubmnd 12882  ℂ_fldccnfld 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-addf 7952  ax-mulf 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-7 9002  df-8 9003  df-9 9004  df-n0 9196  df-z 9273  df-dec 9404  df-uz 9548  df-ico 9913  df-fz 10028  df-cj 10870  df-struct 12488  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-starv 12576  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-submnd 12884  df-grp 12920  df-cmn 13192  df-mgp 13242  df-ring 13319  df-cring 13320  df-icnfld 13832

This theorem is referenced by: (None)