Theorem nnm0r 6647

Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0r	|- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Proof of Theorem nnm0r

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6026	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o (/) ) )
2	1	eqeq1d 2240	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o (/) ) = (/) ) )
3		oveq2 6026	. . 3 |- ( x = y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o y ) )
4	3	eqeq1d 2240	. 2 |- ( x = y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o y ) = (/) ) )
5		oveq2 6026	. . 3 |- ( x = suc y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o suc y ) )
6	5	eqeq1d 2240	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
7		oveq2 6026	. . 3 |- ( x = A -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o A ) )
8	7	eqeq1d 2240	. 2 |- ( x = A -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o A ) = (/) ) )
9		0elon 4489	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 6626	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( (/) .o (/) ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) .o (/) ) = (/)
12		oveq1 6025	. . . 4 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = ( (/) +o (/) ) )
13		oa0 6625	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( (/) +o (/) ) = (/) )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) +o (/) ) = (/)
15	12, 14	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) )
16		peano1 4692	. . . . 5 |- (/) e. om
17		nnmsuc 6645	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y e. om ) -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
18	16, 17	mpan 424	. . . 4 |- ( y e. om -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
19	18	eqeq1d 2240	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o suc y ) = (/) <-> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) ) )
20	15, 19	imbitrrid 156	. 2 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	finds 4698	1 |- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   Oncon0 4460   suc csuc 4462   omcom 4688  (class class class)co 6018   +o coa 6579   .o comu 6580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587

This theorem is referenced by:  nnmcom  6657  nnmord  6685  nnm00  6698  enq0tr  7654  nq0m0r  7676