Theorem nnm0r 6756

Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0r	|- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Proof of Theorem nnm0r

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6096	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o (/) ) )
2	1	eqeq1d 2247	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o (/) ) = (/) ) )
3		oveq2 6096	. . 3 |- ( x = y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o y ) )
4	3	eqeq1d 2247	. 2 |- ( x = y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o y ) = (/) ) )
5		oveq2 6096	. . 3 |- ( x = suc y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o suc y ) )
6	5	eqeq1d 2247	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
7		oveq2 6096	. . 3 |- ( x = A -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o A ) )
8	7	eqeq1d 2247	. 2 |- ( x = A -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o A ) = (/) ) )
9		0elon 4539	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 6735	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( (/) .o (/) ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) .o (/) ) = (/)
12		oveq1 6095	. . . 4 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = ( (/) +o (/) ) )
13		oa0 6734	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( (/) +o (/) ) = (/) )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) +o (/) ) = (/)
15	12, 14	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) )
16		peano1 4743	. . . . 5 |- (/) e. om
17		nnmsuc 6754	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y e. om ) -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
18	16, 17	mpan 428	. . . 4 |- ( y e. om -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
19	18	eqeq1d 2247	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o suc y ) = (/) <-> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) ) )
20	15, 19	imbitrrid 156	. 2 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	finds 4749	1 |- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Oncon0 4510   suc csuc 4512   omcom 4739  (class class class)co 6088   +o coa 6688   .o comu 6689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696

This theorem is used by:  nnmcom  6766  nnmord  6794  nnm00  6807  enq0tr  7808  nq0m0r  7830