Theorem nnm0r 6534

Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0r	|- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Proof of Theorem nnm0r

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5927	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o (/) ) )
2	1	eqeq1d 2202	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o (/) ) = (/) ) )
3		oveq2 5927	. . 3 |- ( x = y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o y ) )
4	3	eqeq1d 2202	. 2 |- ( x = y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o y ) = (/) ) )
5		oveq2 5927	. . 3 |- ( x = suc y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o suc y ) )
6	5	eqeq1d 2202	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
7		oveq2 5927	. . 3 |- ( x = A -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o A ) )
8	7	eqeq1d 2202	. 2 |- ( x = A -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o A ) = (/) ) )
9		0elon 4424	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 6513	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( (/) .o (/) ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) .o (/) ) = (/)
12		oveq1 5926	. . . 4 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = ( (/) +o (/) ) )
13		oa0 6512	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( (/) +o (/) ) = (/) )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) +o (/) ) = (/)
15	12, 14	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) )
16		peano1 4627	. . . . 5 |- (/) e. om
17		nnmsuc 6532	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y e. om ) -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
18	16, 17	mpan 424	. . . 4 |- ( y e. om -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
19	18	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o suc y ) = (/) <-> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) ) )
20	15, 19	imbitrrid 156	. 2 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	finds 4633	1 |- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447   Oncon0 4395   suc csuc 4397   omcom 4623  (class class class)co 5919   +o coa 6468   .o comu 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476

This theorem is referenced by:  nnmcom  6544  nnmord  6572  nnm00  6585  enq0tr  7496  nq0m0r  7518