Theorem nnm0r 6711

Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0r	|- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Proof of Theorem nnm0r

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6057	. . 3 |- ( x = (/) -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o (/) ) )
2	1	eqeq1d 2241	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o (/) ) = (/) ) )
3		oveq2 6057	. . 3 |- ( x = y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o y ) )
4	3	eqeq1d 2241	. 2 |- ( x = y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o y ) = (/) ) )
5		oveq2 6057	. . 3 |- ( x = suc y -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o suc y ) )
6	5	eqeq1d 2241	. 2 |- ( x = suc y -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
7		oveq2 6057	. . 3 |- ( x = A -> ( (/) .o x ) = ( (/) .o A ) )
8	7	eqeq1d 2241	. 2 |- ( x = A -> ( ( (/) .o x ) = (/) <-> ( (/) .o A ) = (/) ) )
9		0elon 4512	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 6690	. . 3 |- ( (/) e. On -> ( (/) .o (/) ) = (/) )
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) .o (/) ) = (/)
12		oveq1 6056	. . . 4 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = ( (/) +o (/) ) )
13		oa0 6689	. . . . 5 |- ( (/) e. On -> ( (/) +o (/) ) = (/) )
14	9, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) +o (/) ) = (/)
15	12, 14	eqtrdi 2281	. . 3 |- ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) )
16		peano1 4715	. . . . 5 |- (/) e. om
17		nnmsuc 6709	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y e. om ) -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
18	16, 17	mpan 424	. . . 4 |- ( y e. om -> ( (/) .o suc y ) = ( ( (/) .o y ) +o (/) ) )
19	18	eqeq1d 2241	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o suc y ) = (/) <-> ( ( (/) .o y ) +o (/) ) = (/) ) )
20	15, 19	imbitrrid 156	. 2 |- ( y e. om -> ( ( (/) .o y ) = (/) -> ( (/) .o suc y ) = (/) ) )
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	finds 4721	1 |- ( A e. om -> ( (/) .o A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3507   Oncon0 4483   suc csuc 4485   omcom 4711  (class class class)co 6049   +o coa 6643   .o comu 6644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651

This theorem is referenced by:  nnmcom  6721  nnmord  6749  nnm00  6762  enq0tr  7748  nq0m0r  7770