Theorem om0 6516

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	|- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Proof of Theorem om0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4427	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 6513	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) )
4		0ex 4160	. . 3 |- (/) e. _V
5	4	rdg0 6445	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x +o A ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/)
6	3, 5	eqtrdi 2245	1 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   |-> cmpt 4094   Oncon0 4398   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   reccrdg 6427   +o coa 6471   .o comu 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479

This theorem is referenced by:  nnm0  6533  nnm0r  6537