ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  om0 Unicode version

Theorem om0 6418
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )

Proof of Theorem om0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 4365 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 omv 6415 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  .o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
31, 2mpan2 422 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
4 0ex 4104 . . 3  |-  (/)  e.  _V
54rdg0 6347 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
63, 5eqtrdi 2213 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1342    e. wcel 2135   _Vcvv 2722   (/)c0 3405    |-> cmpt 4038   Oncon0 4336   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   reccrdg 6329    +o coa 6373    .o comu 6374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-irdg 6330  df-oadd 6380  df-omul 6381
This theorem is referenced by:  nnm0  6435  nnm0r  6439
  Copyright terms: Public domain W3C validator