Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1domsn GIF version

Theorem 1domsn 6706
 Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
1domsn {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem 1domsn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1o 6330 . . . 4 ∅ ∈ 1o
21rgenw 2485 . . 3 𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o
3 elsni 3540 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
43adantr 274 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5 elsni 3540 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
65adantl 275 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
74, 6eqtr4d 2173 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
87a1d 22 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
98rgen2a 2484 . . 3 𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10 eqid 2137 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11 eqidd 2138 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
1210, 11f1mpt 5665 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
132, 9, 12mpbir2an 926 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o
14 1oex 6314 . . 3 1o ∈ V
1514f1dom 6647 . 2 ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o → {𝐴} ≼ 1o)
1613, 15ax-mp 5 1 {𝐴} ≼ 1o
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∅c0 3358  {csn 3522   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  –1-1→wf1 5115  1oc1o 6299   ≼ cdom 6626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-dom 6629 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator