Theorem 1domsn 7115

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6713	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
2	1	rgenw 2605	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o
3		elsni 3727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5		elsni 3727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
7	4, 6	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
9	8	rgen2a 2604	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
12	10, 11	f1mpt 5977	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
13	2, 9, 12	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o
14		1oex 6695	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
15	14	f1dom 7046	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o → {𝐴} ≼ 1o)
16	13, 15	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  –1-1→wf1 5374  1_oc1o 6680   ≼ cdom 7021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-dom 7024

This theorem is used by: (None)