Theorem 1domsn 6929

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6539	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
2	1	rgenw 2562	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o
3		elsni 3656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5		elsni 3656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
7	4, 6	eqtr4d 2242	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
9	8	rgen2a 2561	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
12	10, 11	f1mpt 5853	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
13	2, 9, 12	mpbir2an 945	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o
14		1oex 6523	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
15	14	f1dom 6864	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o → {𝐴} ≼ 1o)
16	13, 15	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∅c0 3464  {csn 3638   class class class wbr 4051   ↦ cmpt 4113  –1-1→wf1 5277  1_oc1o 6508   ≼ cdom 6839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1o 6515  df-dom 6842

This theorem is referenced by: (None)