Theorem 1domsn 6785

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6408	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
2	1	rgenw 2521	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o
3		elsni 3594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
4	3	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5		elsni 3594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
6	5	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
7	4, 6	eqtr4d 2201	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
9	8	rgen2a 2520	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10		eqid 2165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11		eqidd 2166	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
12	10, 11	f1mpt 5739	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
13	2, 9, 12	mpbir2an 932	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o
14		1oex 6392	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
15	14	f1dom 6726	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o → {𝐴} ≼ 1o)
16	13, 15	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  –1-1→wf1 5185  1_oc1o 6377   ≼ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-dom 6708

This theorem is referenced by: (None)