Theorem 1domsn 6887

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6507	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
2	1	rgenw 2552	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o
3		elsni 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝐴)
5		elsni 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑦 = 𝐴)
7	4, 6	eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 = 𝑦)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦))
9	8	rgen2a 2551	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)
10		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅)
11		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∅ = ∅)
12	10, 11	f1mpt 5821	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∅ ∈ 1o ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (∅ = ∅ → 𝑥 = 𝑦)))
13	2, 9, 12	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o
14		1oex 6491	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
15	14	f1dom 6828	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ↦ ∅):{𝐴}–1-1→1o → {𝐴} ≼ 1o)
16	13, 15	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∅c0 3451  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  –1-1→wf1 5256  1_oc1o 6476   ≼ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-dom 6810

This theorem is referenced by: (None)