Theorem 1prl 7517

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7429	. . 3 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2	1	fveq2i 5499	. 2 ⊢ (1st ‘1P) = (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩)
3		ltnqex 7511	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ V
4		gtnqex 7512	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦} ∈ V
5	3, 4	op1st 6125	. 2 ⊢ (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
6	2, 5	eqtri 2191	1 ⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Syntax hints:   = wceq 1348  {cab 2156  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1^st c1st 6117  1_Qc1q 7243   <_Q cltq 7247  1_Pc1p 7254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-i1p 7429

This theorem is referenced by:  1idprl  7552  recexprlem1ssl  7595  recexprlemss1l  7597