Theorem 1prl 7487

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7399	. . 3 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2	1	fveq2i 5483	. 2 ⊢ (1st ‘1P) = (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩)
3		ltnqex 7481	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ V
4		gtnqex 7482	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦} ∈ V
5	3, 4	op1st 6106	. 2 ⊢ (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
6	2, 5	eqtri 2185	1 ⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Syntax hints:   = wceq 1342  {cab 2150  ⟨cop 3573   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  1^st c1st 6098  1_Qc1q 7213   <_Q cltq 7217  1_Pc1p 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1st 6100  df-qs 6498  df-ni 7236  df-nqqs 7280  df-ltnqqs 7285  df-i1p 7399

This theorem is referenced by:  1idprl  7522  recexprlem1ssl  7565  recexprlemss1l  7567