Theorem 1prl 7818

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7730	. . 3 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2	1	fveq2i 5651	. 2 ⊢ (1st ‘1P) = (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩)
3		ltnqex 7812	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ V
4		gtnqex 7813	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦} ∈ V
5	3, 4	op1st 6318	. 2 ⊢ (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
6	2, 5	eqtri 2252	1 ⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Syntax hints:   = wceq 1398  {cab 2217  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  1^st c1st 6310  1_Qc1q 7544   <_Q cltq 7548  1_Pc1p 7555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-qs 6751  df-ni 7567  df-nqqs 7611  df-ltnqqs 7616  df-i1p 7730

This theorem is referenced by:  1idprl  7853  recexprlem1ssl  7896  recexprlemss1l  7898