Theorem 1prl 7556

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7468	. . 3 ⊢ 1P = ⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩
2	1	fveq2i 5520	. 2 ⊢ (1st ‘1P) = (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩)
3		ltnqex 7550	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ V
4		gtnqex 7551	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦} ∈ V
5	3, 4	op1st 6149	. 2 ⊢ (1st ‘⟨{𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}, {𝑦 ∣ 1Q <Q 𝑦}⟩) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
6	2, 5	eqtri 2198	1 ⊢ (1st ‘1P) = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}

Syntax hints:   = wceq 1353  {cab 2163  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  1^st c1st 6141  1_Qc1q 7282   <_Q cltq 7286  1_Pc1p 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-qs 6543  df-ni 7305  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354  df-i1p 7468

This theorem is referenced by:  1idprl  7591  recexprlem1ssl  7634  recexprlemss1l  7636