Theorem recexprlem1ssl 7816

Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of A .P. B. Lemma for recexpr 7821. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlem1ssl	|- ( A e. P. -> ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` ( A .P. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssl

Dummy variables z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1prl 7738	. . . 4 |- ( 1st ` 1P ) = { w | w <Q 1Q }
2	1	abeq2i 2340	. . 3 |- ( w e. ( 1st ` 1P ) <-> w <Q 1Q )
3		rec1nq 7578	. . . . . . 7 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q
4		ltrnqi 7604	. . . . . . 7 |- ( w <Q 1Q -> ( *Q ` 1Q ) <Q ( *Q ` w ) )
5	3, 4	eqbrtrrid 4118	. . . . . 6 |- ( w <Q 1Q -> 1Q <Q ( *Q ` w ) )
6		prop 7658	. . . . . . 7 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
7		prmuloc2 7750	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) )
8	6, 7	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q ( *Q ` w ) ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) )
9	5, 8	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) )
10		prnmaxl 7671	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> E. z e. ( 1st ` A ) v <Q z )
11	6, 10	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> E. z e. ( 1st ` A ) v <Q z )
12	11	ad2ant2r 509	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> E. z e. ( 1st ` A ) v <Q z )
13		elprnql 7664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
14	6, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v e. Q. )
16	15	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> v e. Q. )
17		simp1r 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> w <Q 1Q )
18		ltrelnq 7548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
19	18	brel 4770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w <Q 1Q -> ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w <Q 1Q -> w e. Q. )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> w e. Q. )
22		simp3 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> v <Q z )
23		simp2r 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) )
25		ltrnqi 7604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v <Q z -> ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) )
26		ltmnqg 7584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
28		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v <Q z )
29	18	brel 4770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v <Q z -> ( v e. Q. /\ z e. Q. ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v <Q z -> z e. Q. )
31		recclnq 7575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. Q. -> ( *Q ` z ) e. Q. )
32	28, 30, 31	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( *Q ` z ) e. Q. )
33		recclnq 7575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. Q. -> ( *Q ` v ) e. Q. )
34	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( *Q ` v ) e. Q. )
35		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> w e. Q. )
36		mulcomnqg 7566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
38	27, 32, 34, 35, 37	caovord2d 6174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( *Q ` z ) <Q ( *Q ` v ) <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
39	25, 38	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( v <Q z -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
40		mulcomnqg 7566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. Q. /\ ( *Q ` v ) e. Q. ) -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v ) )
41	33, 40	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = ( ( *Q ` v ) .Q v ) )
42		recidnq 7576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. Q. -> ( v .Q ( *Q ` v ) ) = 1Q )
43	41, 42	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( ( *Q ` v ) .Q v ) = 1Q )
44		recidnq 7576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
45	43, 44	oveqan12d 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
47		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v e. Q. )
48		mulassnqg 7567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
50		recclnq 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. Q. -> ( *Q ` w ) e. Q. )
51	35, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( *Q ` w ) e. Q. )
52		mulclnq 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
54	34, 47, 35, 37, 49, 51, 53	caov4d 6189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q v ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) )
55	46, 54	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( 1Q .Q 1Q ) = ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) )
56		1nq 7549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1Q e. Q.
57		mulidnq 7572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
59	55, 58	eqtr3di 2277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
60		mulclnq 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( *Q ` v ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
61	33, 60	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. )
62		mulclnq 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. Q. /\ ( *Q ` w ) e. Q. ) -> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. )
63	50, 62	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. )
64		recmulnqg 7574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) .Q ( v .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
67	59, 66	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) = ( v .Q ( *Q ` w ) ) )
68	67	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) <-> ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) )
69	68	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) )
70		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y <-> ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
71		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) )
72	71	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) <-> ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) )
73	70, 72	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` v ) .Q w ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) <-> ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
74	73	spcegv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( *Q ` v ) .Q w ) e. Q. -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
75	61, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
76		recexpr.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
77	76	recexprlemell 7805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
78	75, 77	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` v ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` v ) .Q w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) ) )
80	39, 69, 79	syl2and 295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) ) )
81	24, 80	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( v <Q z /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) )
82	16, 21, 22, 23, 81	syl22anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) )
83	30	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> z e. Q. )
84		mulidnq 7572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
85		mulcomnqg 7566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
86	56, 85	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
87	84, 86	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( 1Q .Q w ) )
89		recidnq 7576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
90	89	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
92		mulassnqg 7567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Q. /\ ( *Q ` z ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
93	31, 92	syl3an2 1305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
94	93	3anidm12 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
95	88, 91, 94	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
96	83, 21, 95	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
97		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
98	97	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
99	98	rspcev 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 1st ` B ) /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) )
100	82, 96, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ v <Q z ) -> E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) )
101	100	3expia 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( v <Q z -> E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
102	101	reximdv 2631	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 1st ` A ) v <Q z -> E. z e. ( 1st ` A ) E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
103	76	recexprlempr 7815	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
104		df-imp 7652	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> <. { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 1st ` y ) /\ g e. ( 1st ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } , { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 2nd ` y ) /\ g e. ( 2nd ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } >. )
105	104, 52	genpelvl 7695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 1st ` A ) E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
106	103, 105	mpdan 421	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 1st ` A ) E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
107	106	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 1st ` A ) E. x e. ( 1st ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
108	102, 107	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 1st ` A ) v <Q z -> w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) ) )
109	12, 108	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) )
110	9, 109	rexlimddv 2653	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ w <Q 1Q ) -> w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) )
111	110	ex 115	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w <Q 1Q -> w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) ) )
112	2, 111	biimtrid 152	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 1st ` 1P ) -> w e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) ) )
113	112	ssrdv 3230	1 |- ( A e. P. -> ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` ( A .P. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1stc1st 6282   2ndc2nd 6283   Q.cnq 7463   1Qc1q 7464   .Q cmq 7466   *Qcrq 7467   <Q cltq 7468   P.cnp 7474   1Pc1p 7475   .P. cmp 7477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-imp 7652

This theorem is referenced by:  recexprlemex  7820