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Theorem recexprlem1ssl 7405
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of  A  .P.  B. Lemma for recexpr 7410. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 7327 . . . 4  |-  ( 1st `  1P )  =  {
w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2226 . . 3  |-  ( w  e.  ( 1st `  1P ) 
<->  w  <Q  1Q )
3 rec1nq 7167 . . . . . . 7  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
4 ltrnqi 7193 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q `  w ) )
53, 4eqbrtrrid 3932 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )
6 prop 7247 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
7 prmuloc2 7339 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
86, 7sylan 279 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
95, 8sylan2 282 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
10 prnmaxl 7260 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
116, 10sylan 279 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
1211ad2ant2r 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) v  <Q  z
)
13 elprnql 7253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
146, 13sylan 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
1514ad2ant2r 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  v  e.  Q. )
16153adant3 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  e.  Q. )
17 simp1r 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  <Q  1Q )
18 ltrelnq 7137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1918brel 4559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2019simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  e.  Q. )
22 simp3 966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  <Q  z )
23 simp2r 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
24 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
25 ltrnqi 7193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( *Q
`  z )  <Q 
( *Q `  v
) )
26 ltmnqg 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
2726adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
28 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  <Q  z )
2918brel 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
3029simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
31 recclnq 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  z
)  e.  Q. )
33 recclnq 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
3433ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  v
)  e.  Q. )
35 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  ->  w  e.  Q. )
36 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  =  ( g  .Q  f ) )
3736adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  =  ( g  .Q  f ) )
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 5906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3925, 38syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
40 1nq 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1Q  e.  Q.
41 mulidnq 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
43 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  v )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
4433, 43mpdan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
45 recidnq 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4644, 45eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
47 recidnq 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4846, 47oveqan12d 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
4948adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
50 simpll 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  e.  Q. )
51 mulassnqg 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
5251adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  .Q  g )  .Q  h )  =  ( f  .Q  (
g  .Q  h ) ) )
53 recclnq 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
5435, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  w
)  e.  Q. )
55 mulclnq 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
5655adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  e.  Q. )
5734, 50, 35, 37, 52, 54, 56caov4d 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
5849, 57eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( 1Q  .Q  1Q )  =  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
5942, 58syl5reqr 2163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
60 mulclnq 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
6133, 60sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
62 mulclnq 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  w )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
6353, 62sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
64 recmulnqg 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6561, 63, 64syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6665adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6759, 66mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
6867eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  <-> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
6968biimprd 157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  ->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
70 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
71 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
7271eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A )  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
7370, 72anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) )  <->  ( (
( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7473spcegv 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
7776recexprlemell 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
)  <->  E. y ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
7875, 77syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
7978adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8039, 69, 79syl2and 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  <Q 
z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B ) )
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
) )
83303ad2ant3 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  z  e.  Q. )
84 mulidnq 7161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
85 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8640, 85mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8784, 86eqtr3d 2150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8887adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
89 recidnq 7165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
9089oveq1d 5755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
9190adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
92 mulassnqg 7156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  z )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
9331, 92syl3an2 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
94933anidm12 1256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9588, 91, 943eqtr2d 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9683, 21, 95syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
97 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9897eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9998rspcev 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B )  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x ) )
10082, 96, 99syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) )
1011003expia 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
102101reximdv 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10376recexprlempr 7404 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
104 df-imp 7241 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  <. { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 1st `  y )  /\  g  e.  ( 1st `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 2nd `  y )  /\  g  e.  ( 2nd `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } >. )
105104, 55genpelvl 7284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A ) E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x
) ) )
106103, 105mpdan 415 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
107106ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
108102, 107sylibrd 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
10912, 108mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
1109, 109rexlimddv 2529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) ) )
111110ex 114 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1122, 111syl5bi 151 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  1P )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
113112ssrdv 3071 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   {cab 2101   E.wrex 2392    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1stc1st 6002   2ndc2nd 6003   Q.cnq 7052   1Qc1q 7053    .Q cmq 7055   *Qcrq 7056    <Q cltq 7057   P.cnp 7063   1Pc1p 7064    .P. cmp 7066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-imp 7241
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7409
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