ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlem1ssl Unicode version

Theorem recexprlem1ssl 7171
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of  A  .P.  B. Lemma for recexpr 7176. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 7093 . . . 4  |-  ( 1st `  1P )  =  {
w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2198 . . 3  |-  ( w  e.  ( 1st `  1P ) 
<->  w  <Q  1Q )
3 rec1nq 6933 . . . . . . 7  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
4 ltrnqi 6959 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q `  w ) )
53, 4syl5eqbrr 3871 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )
6 prop 7013 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
7 prmuloc2 7105 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
86, 7sylan 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
95, 8sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
10 prnmaxl 7026 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
116, 10sylan 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
1211ad2ant2r 493 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) v  <Q  z
)
13 elprnql 7019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
146, 13sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
1514ad2ant2r 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  v  e.  Q. )
16153adant3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  e.  Q. )
17 simp1r 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  <Q  1Q )
18 ltrelnq 6903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1918brel 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2019simpld 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  e.  Q. )
22 simp3 945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  <Q  z )
23 simp2r 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
24 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
25 ltrnqi 6959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( *Q
`  z )  <Q 
( *Q `  v
) )
26 ltmnqg 6939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
2726adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
28 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  <Q  z )
2918brel 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
3029simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
31 recclnq 6930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  z
)  e.  Q. )
33 recclnq 6930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
3433ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  v
)  e.  Q. )
35 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  ->  w  e.  Q. )
36 mulcomnqg 6921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  =  ( g  .Q  f ) )
3736adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  =  ( g  .Q  f ) )
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3925, 38syl5ib 152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
40 1nq 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1Q  e.  Q.
41 mulidnq 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
4240, 41ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
43 mulcomnqg 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  v )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
4433, 43mpdan 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
45 recidnq 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4644, 45eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
47 recidnq 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4846, 47oveqan12d 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
50 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  e.  Q. )
51 mulassnqg 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
5251adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  .Q  g )  .Q  h )  =  ( f  .Q  (
g  .Q  h ) ) )
53 recclnq 6930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
5435, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  w
)  e.  Q. )
55 mulclnq 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
5655adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  e.  Q. )
5734, 50, 35, 37, 52, 54, 56caov4d 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
5849, 57eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( 1Q  .Q  1Q )  =  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
5942, 58syl5reqr 2135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
60 mulclnq 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
6133, 60sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
62 mulclnq 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  w )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
6353, 62sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
64 recmulnqg 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6561, 63, 64syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6665adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6759, 66mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
6867eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  <-> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
6968biimprd 156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  ->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
70 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
71 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
7271eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A )  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
7370, 72anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) )  <->  ( (
( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7473spcegv 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
7776recexprlemell 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
)  <->  E. y ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
7875, 77syl6ibr 160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
7978adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8039, 69, 79syl2and 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  <Q 
z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B ) )
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
) )
83303ad2ant3 966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  z  e.  Q. )
84 mulidnq 6927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
85 mulcomnqg 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8640, 85mpan2 416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8784, 86eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8887adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
89 recidnq 6931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
9089oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
9190adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
92 mulassnqg 6922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  z )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
9331, 92syl3an2 1208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
94933anidm12 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9588, 91, 943eqtr2d 2126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9683, 21, 95syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
97 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9897eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9998rspcev 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B )  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x ) )
10082, 96, 99syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) )
1011003expia 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
102101reximdv 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10376recexprlempr 7170 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
104 df-imp 7007 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  <. { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 1st `  y )  /\  g  e.  ( 1st `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 2nd `  y )  /\  g  e.  ( 2nd `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } >. )
105104, 55genpelvl 7050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A ) E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x
) ) )
106103, 105mpdan 412 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
107106ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
108102, 107sylibrd 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
10912, 108mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
1109, 109rexlimddv 2493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) ) )
111110ex 113 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1122, 111syl5bi 150 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  1P )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
113112ssrdv 3029 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   E.wrex 2360    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818   1Qc1q 6819    .Q cmq 6821   *Qcrq 6822    <Q cltq 6823   P.cnp 6829   1Pc1p 6830    .P. cmp 6832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-imp 7007
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7175
  Copyright terms: Public domain W3C validator