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Theorem recexprlem1ssl 7595
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of  A  .P.  B. Lemma for recexpr 7600. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 7517 . . . 4  |-  ( 1st `  1P )  =  {
w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2281 . . 3  |-  ( w  e.  ( 1st `  1P ) 
<->  w  <Q  1Q )
3 rec1nq 7357 . . . . . . 7  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
4 ltrnqi 7383 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q `  w ) )
53, 4eqbrtrrid 4025 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )
6 prop 7437 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
7 prmuloc2 7529 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
86, 7sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
95, 8sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
10 prnmaxl 7450 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
116, 10sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z )
1211ad2ant2r 506 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) v  <Q  z
)
13 elprnql 7443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
146, 13sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
1514ad2ant2r 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  v  e.  Q. )
16153adant3 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  e.  Q. )
17 simp1r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  <Q  1Q )
18 ltrelnq 7327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1918brel 4663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2019simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  e.  Q. )
22 simp3 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  v  <Q  z )
23 simp2r 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) )
24 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
25 ltrnqi 7383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( *Q
`  z )  <Q 
( *Q `  v
) )
26 ltmnqg 7363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
2726adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
28 simprl 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  <Q  z )
2918brel 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
3029simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
31 recclnq 7354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  z
)  e.  Q. )
33 recclnq 7354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
3433ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  v
)  e.  Q. )
35 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  ->  w  e.  Q. )
36 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  =  ( g  .Q  f ) )
3736adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  =  ( g  .Q  f ) )
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 6022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3925, 38syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
40 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  v )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
4133, 40mpdan 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  v ) )
42 recidnq 7355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4341, 42eqtr3d 2205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
44 recidnq 7355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4543, 44oveqan12d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
4645adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
47 simpll 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
v  e.  Q. )
48 mulassnqg 7346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
4948adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  .Q  g )  .Q  h )  =  ( f  .Q  (
g  .Q  h ) ) )
50 recclnq 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
5135, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  w
)  e.  Q. )
52 mulclnq 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
5352adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( v  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
v  <Q  z  /\  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  e.  Q. )
5434, 47, 35, 37, 49, 51, 53caov4d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
5546, 54eqtr3d 2205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( 1Q  .Q  1Q )  =  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) ) )
56 1nq 7328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1Q  e.  Q.
57 mulidnq 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
5955, 58eqtr3di 2218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
60 mulclnq 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
6133, 60sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
62 mulclnq 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  ( *Q `  w )  e.  Q. )  -> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
6350, 62sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )
64 recmulnqg 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6561, 63, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6665adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6759, 66mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
6867eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  <-> 
( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
6968biimprd 157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A )  ->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
70 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
71 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
7271eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A )  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )
7370, 72anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) )  <->  ( (
( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7473spcegv 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
7776recexprlemell 7584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
)  <->  E. y ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A
) ) )
7875, 77syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
7978adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8039, 69, 79syl2and 293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( v  <Q 
z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 1st `  B ) ) )
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 2nd `  A
) ) )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B ) )
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 1st `  B
) )
83303ad2ant3 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  z  e.  Q. )
84 mulidnq 7351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
85 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8656, 85mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8784, 86eqtr3d 2205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8887adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
89 recidnq 7355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
9089oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
92 mulassnqg 7346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  z )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
9331, 92syl3an2 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
94933anidm12 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9588, 91, 943eqtr2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9683, 21, 95syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
97 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9897eqeq2d 2182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9998rspcev 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 1st `  B )  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x ) )
10082, 96, 99syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  v  <Q 
z )  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) )
1011003expia 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
102101reximdv 2571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10376recexprlempr 7594 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
104 df-imp 7431 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  <. { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 1st `  y )  /\  g  e.  ( 1st `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 2nd `  y )  /\  g  e.  ( 2nd `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } >. )
105104, 52genpelvl 7474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A ) E. x  e.  ( 1st `  B ) w  =  ( z  .Q  x
) ) )
106103, 105mpdan 419 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
107106ad2antrr 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 1st `  A
) E. x  e.  ( 1st `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
108102, 107sylibrd 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 1st `  A ) v 
<Q  z  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
10912, 108mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
1109, 109rexlimddv 2592 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B
) ) )
111110ex 114 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1122, 111syl5bi 151 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 1st `  1P )  ->  w  e.  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) ) )
113112ssrdv 3153 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  1P )  C_  ( 1st `  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449    C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Q.cnq 7242   1Qc1q 7243    .Q cmq 7245   *Qcrq 7246    <Q cltq 7247   P.cnp 7253   1Pc1p 7254    .P. cmp 7256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-imp 7431
This theorem is referenced by:  recexprlemex  7599
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