Theorem op1st 6353

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4349	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6349	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5249	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2255	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   <.cop 3697   U.cuni 3919   dom cdm 4754   ` cfv 5357   1stc1st 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-1st 6347

This theorem is referenced by:  op1std  6355  op1stg  6357  1stval2  6362  fo1stresm  6368  eloprabi  6405  algrflem  6438  xpmapenlem  7115  genpelvl  7843  nqpru  7883  1prl  7886  addnqprlemrl  7888  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  mulnqprlemrl  7904  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  ltnqpr  7924  ltnqpri  7925  ltexprlemell  7929  recexprlemell  7953  archpr  7974  cauappcvgprlemm  7976  cauappcvgprlemopl  7977  cauappcvgprlemlol  7978  cauappcvgprlemdisj  7982  cauappcvgprlemloc  7983  cauappcvgprlemladdfl  7986  cauappcvgprlemladdru  7987  cauappcvgprlemladdrl  7988  cauappcvgprlem1  7990  cauappcvgprlem2  7991  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemdisj  8005  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlem2  8011  caucvgprprlemell  8016  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemopu  8030  ctiunctlemfo  13274