ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st Unicode version

Theorem op1st 6012
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1st  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 op1st.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 opexg 4120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
41, 2, 3mp2an 422 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
5 1stvalg 6008 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
_V  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  { <. A ,  B >. } )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  {
<. A ,  B >. }
71, 2op1sta 4990 . 2  |-  U. dom  {
<. A ,  B >. }  =  A
86, 7eqtri 2138 1  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   dom cdm 4509   ` cfv 5093   1stc1st 6004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-1st 6006
This theorem is referenced by:  op1std  6014  op1stg  6016  1stval2  6021  fo1stresm  6027  eloprabi  6062  algrflem  6094  xpmapenlem  6711  genpelvl  7288  nqpru  7328  1prl  7331  addnqprlemrl  7333  addnqprlemfl  7335  addnqprlemfu  7336  mulnqprlemrl  7349  mulnqprlemfl  7351  mulnqprlemfu  7352  ltnqpr  7369  ltnqpri  7370  ltexprlemell  7374  recexprlemell  7398  archpr  7419  cauappcvgprlemm  7421  cauappcvgprlemopl  7422  cauappcvgprlemlol  7423  cauappcvgprlemdisj  7427  cauappcvgprlemloc  7428  cauappcvgprlemladdfl  7431  cauappcvgprlemladdru  7432  cauappcvgprlemladdrl  7433  cauappcvgprlem1  7435  cauappcvgprlem2  7436  caucvgprlemm  7444  caucvgprlemopl  7445  caucvgprlemlol  7446  caucvgprlemdisj  7450  caucvgprlemloc  7451  caucvgprlem2  7456  caucvgprprlemell  7461  caucvgprprlemml  7470  caucvgprprlemopu  7475  ctiunctlemfo  11879
  Copyright terms: Public domain W3C validator