Theorem op1st 6171

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4246	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6167	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5128	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2210	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   dom cdm 4644   ` cfv 5235   1stc1st 6163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-1st 6165

This theorem is referenced by:  op1std  6173  op1stg  6175  1stval2  6180  fo1stresm  6186  eloprabi  6221  algrflem  6254  xpmapenlem  6877  genpelvl  7541  nqpru  7581  1prl  7584  addnqprlemrl  7586  addnqprlemfl  7588  addnqprlemfu  7589  mulnqprlemrl  7602  mulnqprlemfl  7604  mulnqprlemfu  7605  ltnqpr  7622  ltnqpri  7623  ltexprlemell  7627  recexprlemell  7651  archpr  7672  cauappcvgprlemm  7674  cauappcvgprlemopl  7675  cauappcvgprlemlol  7676  cauappcvgprlemdisj  7680  cauappcvgprlemloc  7681  cauappcvgprlemladdfl  7684  cauappcvgprlemladdru  7685  cauappcvgprlemladdrl  7686  cauappcvgprlem1  7688  cauappcvgprlem2  7689  caucvgprlemm  7697  caucvgprlemopl  7698  caucvgprlemlol  7699  caucvgprlemdisj  7703  caucvgprlemloc  7704  caucvgprlem2  7709  caucvgprprlemell  7714  caucvgprprlemml  7723  caucvgprprlemopu  7728  ctiunctlemfo  12490