Theorem op1st 6147

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4229	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6143	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5111	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2198	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   <.cop 3596   U.cuni 3810   dom cdm 4627   ` cfv 5217   1stc1st 6139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-1st 6141

This theorem is referenced by:  op1std  6149  op1stg  6151  1stval2  6156  fo1stresm  6162  eloprabi  6197  algrflem  6230  xpmapenlem  6849  genpelvl  7511  nqpru  7551  1prl  7554  addnqprlemrl  7556  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  mulnqprlemrl  7572  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  ltnqpr  7592  ltnqpri  7593  ltexprlemell  7597  recexprlemell  7621  archpr  7642  cauappcvgprlemm  7644  cauappcvgprlemopl  7645  cauappcvgprlemlol  7646  cauappcvgprlemdisj  7650  cauappcvgprlemloc  7651  cauappcvgprlemladdfl  7654  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  cauappcvgprlem1  7658  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemopl  7668  caucvgprlemlol  7669  caucvgprlemdisj  7673  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlem2  7679  caucvgprprlemell  7684  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemopu  7698  ctiunctlemfo  12440