Theorem op1st 6213

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4262	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6209	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5152	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2217	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   <.cop 3626   U.cuni 3840   dom cdm 4664   ` cfv 5259   1stc1st 6205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-1st 6207

This theorem is referenced by:  op1std  6215  op1stg  6217  1stval2  6222  fo1stresm  6228  eloprabi  6263  algrflem  6296  xpmapenlem  6919  genpelvl  7596  nqpru  7636  1prl  7639  addnqprlemrl  7641  addnqprlemfl  7643  addnqprlemfu  7644  mulnqprlemrl  7657  mulnqprlemfl  7659  mulnqprlemfu  7660  ltnqpr  7677  ltnqpri  7678  ltexprlemell  7682  recexprlemell  7706  archpr  7727  cauappcvgprlemm  7729  cauappcvgprlemopl  7730  cauappcvgprlemlol  7731  cauappcvgprlemdisj  7735  cauappcvgprlemloc  7736  cauappcvgprlemladdfl  7739  cauappcvgprlemladdru  7740  cauappcvgprlemladdrl  7741  cauappcvgprlem1  7743  cauappcvgprlem2  7744  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemopl  7753  caucvgprlemlol  7754  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlem2  7764  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemopu  7783  ctiunctlemfo  12681