Theorem op1st 6255

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4290	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6251	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5183	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2228	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   dom cdm 4693   ` cfv 5290   1stc1st 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-1st 6249

This theorem is referenced by:  op1std  6257  op1stg  6259  1stval2  6264  fo1stresm  6270  eloprabi  6305  algrflem  6338  xpmapenlem  6971  genpelvl  7660  nqpru  7700  1prl  7703  addnqprlemrl  7705  addnqprlemfl  7707  addnqprlemfu  7708  mulnqprlemrl  7721  mulnqprlemfl  7723  mulnqprlemfu  7724  ltnqpr  7741  ltnqpri  7742  ltexprlemell  7746  recexprlemell  7770  archpr  7791  cauappcvgprlemm  7793  cauappcvgprlemopl  7794  cauappcvgprlemlol  7795  cauappcvgprlemdisj  7799  cauappcvgprlemloc  7800  cauappcvgprlemladdfl  7803  cauappcvgprlemladdru  7804  cauappcvgprlemladdrl  7805  cauappcvgprlem1  7807  cauappcvgprlem2  7808  caucvgprlemm  7816  caucvgprlemopl  7817  caucvgprlemlol  7818  caucvgprlemdisj  7822  caucvgprlemloc  7823  caucvgprlem2  7828  caucvgprprlemell  7833  caucvgprprlemml  7842  caucvgprprlemopu  7847  ctiunctlemfo  12925