ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st Unicode version

Theorem op1st 6010
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1st  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 op1st.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 opexg 4118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
41, 2, 3mp2an 420 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
5 1stvalg 6006 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
_V  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  { <. A ,  B >. } )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  {
<. A ,  B >. }
71, 2op1sta 4988 . 2  |-  U. dom  {
<. A ,  B >. }  =  A
86, 7eqtri 2136 1  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   {csn 3495   <.cop 3498   U.cuni 3704   dom cdm 4507   ` cfv 5091   1stc1st 6002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-1st 6004
This theorem is referenced by:  op1std  6012  op1stg  6014  1stval2  6019  fo1stresm  6025  eloprabi  6060  algrflem  6092  xpmapenlem  6709  genpelvl  7284  nqpru  7324  1prl  7327  addnqprlemrl  7329  addnqprlemfl  7331  addnqprlemfu  7332  mulnqprlemrl  7345  mulnqprlemfl  7347  mulnqprlemfu  7348  ltnqpr  7365  ltnqpri  7366  ltexprlemell  7370  recexprlemell  7394  archpr  7415  cauappcvgprlemm  7417  cauappcvgprlemopl  7418  cauappcvgprlemlol  7419  cauappcvgprlemdisj  7423  cauappcvgprlemloc  7424  cauappcvgprlemladdfl  7427  cauappcvgprlemladdru  7428  cauappcvgprlemladdrl  7429  cauappcvgprlem1  7431  cauappcvgprlem2  7432  caucvgprlemm  7440  caucvgprlemopl  7441  caucvgprlemlol  7442  caucvgprlemdisj  7446  caucvgprlemloc  7447  caucvgprlem2  7452  caucvgprprlemell  7457  caucvgprprlemml  7466  caucvgprprlemopu  7471  ctiunctlemfo  11847
  Copyright terms: Public domain W3C validator