Theorem op1st 5917

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4055	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 417	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 5913	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 4912	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2108	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3446   <.cop 3449   U.cuni 3653   dom cdm 4438   ` cfv 5015   1stc1st 5909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-1st 5911

This theorem is referenced by:  op1std  5919  op1stg  5921  1stval2  5926  fo1stresm  5932  eloprabi  5966  algrflem  5994  xpmapenlem  6563  genpelvl  7069  nqpru  7109  1prl  7112  addnqprlemrl  7114  addnqprlemfl  7116  addnqprlemfu  7117  mulnqprlemrl  7130  mulnqprlemfl  7132  mulnqprlemfu  7133  ltnqpr  7150  ltnqpri  7151  ltexprlemell  7155  recexprlemell  7179  archpr  7200  cauappcvgprlemm  7202  cauappcvgprlemopl  7203  cauappcvgprlemlol  7204  cauappcvgprlemdisj  7208  cauappcvgprlemloc  7209  cauappcvgprlemladdfl  7212  cauappcvgprlemladdru  7213  cauappcvgprlemladdrl  7214  cauappcvgprlem1  7216  cauappcvgprlem2  7217  caucvgprlemm  7225  caucvgprlemopl  7226  caucvgprlemlol  7227  caucvgprlemdisj  7231  caucvgprlemloc  7232  caucvgprlem2  7237  caucvgprprlemell  7242  caucvgprprlemml  7251  caucvgprprlemopu  7256