Theorem op1st 6052

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4158	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6048	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5028	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2161	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3532   <.cop 3535   U.cuni 3744   dom cdm 4547   ` cfv 5131   1stc1st 6044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-1st 6046

This theorem is referenced by:  op1std  6054  op1stg  6056  1stval2  6061  fo1stresm  6067  eloprabi  6102  algrflem  6134  xpmapenlem  6751  genpelvl  7344  nqpru  7384  1prl  7387  addnqprlemrl  7389  addnqprlemfl  7391  addnqprlemfu  7392  mulnqprlemrl  7405  mulnqprlemfl  7407  mulnqprlemfu  7408  ltnqpr  7425  ltnqpri  7426  ltexprlemell  7430  recexprlemell  7454  archpr  7475  cauappcvgprlemm  7477  cauappcvgprlemopl  7478  cauappcvgprlemlol  7479  cauappcvgprlemdisj  7483  cauappcvgprlemloc  7484  cauappcvgprlemladdfl  7487  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  cauappcvgprlem1  7491  cauappcvgprlem2  7492  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemopl  7501  caucvgprlemlol  7502  caucvgprlemdisj  7506  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlem2  7512  caucvgprprlemell  7517  caucvgprprlemml  7526  caucvgprprlemopu  7531  ctiunctlemfo  11988