Theorem op1st 6114

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4206	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6110	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5085	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2186	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   U.cuni 3789   dom cdm 4604   ` cfv 5188   1stc1st 6106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-1st 6108

This theorem is referenced by:  op1std  6116  op1stg  6118  1stval2  6123  fo1stresm  6129  eloprabi  6164  algrflem  6197  xpmapenlem  6815  genpelvl  7453  nqpru  7493  1prl  7496  addnqprlemrl  7498  addnqprlemfl  7500  addnqprlemfu  7501  mulnqprlemrl  7514  mulnqprlemfl  7516  mulnqprlemfu  7517  ltnqpr  7534  ltnqpri  7535  ltexprlemell  7539  recexprlemell  7563  archpr  7584  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemopl  7587  cauappcvgprlemlol  7588  cauappcvgprlemdisj  7592  cauappcvgprlemloc  7593  cauappcvgprlemladdfl  7596  cauappcvgprlemladdru  7597  cauappcvgprlemladdrl  7598  cauappcvgprlem1  7600  cauappcvgprlem2  7601  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemopl  7610  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemdisj  7615  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlem2  7621  caucvgprprlemell  7626  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemopu  7640  ctiunctlemfo  12372