Theorem op1st 6318

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4326	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6314	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5225	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2252	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {csn 3673   <.cop 3676   U.cuni 3898   dom cdm 4731   ` cfv 5333   1stc1st 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-1st 6312

This theorem is referenced by:  op1std  6320  op1stg  6322  1stval2  6327  fo1stresm  6333  eloprabi  6370  algrflem  6403  xpmapenlem  7078  genpelvl  7792  nqpru  7832  1prl  7835  addnqprlemrl  7837  addnqprlemfl  7839  addnqprlemfu  7840  mulnqprlemrl  7853  mulnqprlemfl  7855  mulnqprlemfu  7856  ltnqpr  7873  ltnqpri  7874  ltexprlemell  7878  recexprlemell  7902  archpr  7923  cauappcvgprlemm  7925  cauappcvgprlemopl  7926  cauappcvgprlemlol  7927  cauappcvgprlemdisj  7931  cauappcvgprlemloc  7932  cauappcvgprlemladdfl  7935  cauappcvgprlemladdru  7936  cauappcvgprlemladdrl  7937  cauappcvgprlem1  7939  cauappcvgprlem2  7940  caucvgprlemm  7948  caucvgprlemopl  7949  caucvgprlemlol  7950  caucvgprlemdisj  7954  caucvgprlemloc  7955  caucvgprlem2  7960  caucvgprprlemell  7965  caucvgprprlemml  7974  caucvgprprlemopu  7979  ctiunctlemfo  13140