Theorem op1st 6234

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4273	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6230	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5165	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2226	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   <.cop 3636   U.cuni 3850   dom cdm 4676   ` cfv 5272   1stc1st 6226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-1st 6228

This theorem is referenced by:  op1std  6236  op1stg  6238  1stval2  6243  fo1stresm  6249  eloprabi  6284  algrflem  6317  xpmapenlem  6948  genpelvl  7627  nqpru  7667  1prl  7670  addnqprlemrl  7672  addnqprlemfl  7674  addnqprlemfu  7675  mulnqprlemrl  7688  mulnqprlemfl  7690  mulnqprlemfu  7691  ltnqpr  7708  ltnqpri  7709  ltexprlemell  7713  recexprlemell  7737  archpr  7758  cauappcvgprlemm  7760  cauappcvgprlemopl  7761  cauappcvgprlemlol  7762  cauappcvgprlemdisj  7766  cauappcvgprlemloc  7767  cauappcvgprlemladdfl  7770  cauappcvgprlemladdru  7771  cauappcvgprlemladdrl  7772  cauappcvgprlem1  7774  cauappcvgprlem2  7775  caucvgprlemm  7783  caucvgprlemopl  7784  caucvgprlemlol  7785  caucvgprlemdisj  7789  caucvgprlemloc  7790  caucvgprlem2  7795  caucvgprprlemell  7800  caucvgprprlemml  7809  caucvgprprlemopu  7814  ctiunctlemfo  12843