Theorem op1st 6232

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4272	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6228	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5164	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2226	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   <.cop 3636   U.cuni 3850   dom cdm 4675   ` cfv 5271   1stc1st 6224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-1st 6226

This theorem is referenced by:  op1std  6234  op1stg  6236  1stval2  6241  fo1stresm  6247  eloprabi  6282  algrflem  6315  xpmapenlem  6946  genpelvl  7625  nqpru  7665  1prl  7668  addnqprlemrl  7670  addnqprlemfl  7672  addnqprlemfu  7673  mulnqprlemrl  7686  mulnqprlemfl  7688  mulnqprlemfu  7689  ltnqpr  7706  ltnqpri  7707  ltexprlemell  7711  recexprlemell  7735  archpr  7756  cauappcvgprlemm  7758  cauappcvgprlemopl  7759  cauappcvgprlemlol  7760  cauappcvgprlemdisj  7764  cauappcvgprlemloc  7765  cauappcvgprlemladdfl  7768  cauappcvgprlemladdru  7769  cauappcvgprlemladdrl  7770  cauappcvgprlem1  7772  cauappcvgprlem2  7773  caucvgprlemm  7781  caucvgprlemopl  7782  caucvgprlemlol  7783  caucvgprlemdisj  7787  caucvgprlemloc  7788  caucvgprlem2  7793  caucvgprprlemell  7798  caucvgprprlemml  7807  caucvgprprlemopu  7812  ctiunctlemfo  12810