Theorem op1st 6340

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6336	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5244	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2253	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   U.cuni 3914   dom cdm 4749   ` cfv 5352   1stc1st 6332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-1st 6334

This theorem is referenced by:  op1std  6342  op1stg  6344  1stval2  6349  fo1stresm  6355  eloprabi  6392  algrflem  6425  xpmapenlem  7102  genpelvl  7827  nqpru  7867  1prl  7870  addnqprlemrl  7872  addnqprlemfl  7874  addnqprlemfu  7875  mulnqprlemrl  7888  mulnqprlemfl  7890  mulnqprlemfu  7891  ltnqpr  7908  ltnqpri  7909  ltexprlemell  7913  recexprlemell  7937  archpr  7958  cauappcvgprlemm  7960  cauappcvgprlemopl  7961  cauappcvgprlemlol  7962  cauappcvgprlemdisj  7966  cauappcvgprlemloc  7967  cauappcvgprlemladdfl  7970  cauappcvgprlemladdru  7971  cauappcvgprlemladdrl  7972  cauappcvgprlem1  7974  cauappcvgprlem2  7975  caucvgprlemm  7983  caucvgprlemopl  7984  caucvgprlemlol  7985  caucvgprlemdisj  7989  caucvgprlemloc  7990  caucvgprlem2  7995  caucvgprprlemell  8000  caucvgprprlemml  8009  caucvgprprlemopu  8014  ctiunctlemfo  13190