Theorem op1st 6292

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4314	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6288	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5210	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2250	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   <.cop 3669   U.cuni 3888   dom cdm 4719   ` cfv 5318   1stc1st 6284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-1st 6286

This theorem is referenced by:  op1std  6294  op1stg  6296  1stval2  6301  fo1stresm  6307  eloprabi  6342  algrflem  6375  xpmapenlem  7010  genpelvl  7699  nqpru  7739  1prl  7742  addnqprlemrl  7744  addnqprlemfl  7746  addnqprlemfu  7747  mulnqprlemrl  7760  mulnqprlemfl  7762  mulnqprlemfu  7763  ltnqpr  7780  ltnqpri  7781  ltexprlemell  7785  recexprlemell  7809  archpr  7830  cauappcvgprlemm  7832  cauappcvgprlemopl  7833  cauappcvgprlemlol  7834  cauappcvgprlemdisj  7838  cauappcvgprlemloc  7839  cauappcvgprlemladdfl  7842  cauappcvgprlemladdru  7843  cauappcvgprlemladdrl  7844  cauappcvgprlem1  7846  cauappcvgprlem2  7847  caucvgprlemm  7855  caucvgprlemopl  7856  caucvgprlemlol  7857  caucvgprlemdisj  7861  caucvgprlemloc  7862  caucvgprlem2  7867  caucvgprprlemell  7872  caucvgprprlemml  7881  caucvgprprlemopu  7886  ctiunctlemfo  13010