Theorem op1st 6091

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1st	|- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4188	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		1stvalg 6087	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = U. dom { <. A , B >. }
7	1, 2	op1sta 5066	. 2 |- U. dom { <. A , B >. } = A
8	6, 7	eqtri 2178	1 |- ( 1st ` <. A , B >. ) = A

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   U.cuni 3772   dom cdm 4585   ` cfv 5169   1stc1st 6083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-1st 6085

This theorem is referenced by:  op1std  6093  op1stg  6095  1stval2  6100  fo1stresm  6106  eloprabi  6141  algrflem  6173  xpmapenlem  6791  genpelvl  7426  nqpru  7466  1prl  7469  addnqprlemrl  7471  addnqprlemfl  7473  addnqprlemfu  7474  mulnqprlemrl  7487  mulnqprlemfl  7489  mulnqprlemfu  7490  ltnqpr  7507  ltnqpri  7508  ltexprlemell  7512  recexprlemell  7536  archpr  7557  cauappcvgprlemm  7559  cauappcvgprlemopl  7560  cauappcvgprlemlol  7561  cauappcvgprlemdisj  7565  cauappcvgprlemloc  7566  cauappcvgprlemladdfl  7569  cauappcvgprlemladdru  7570  cauappcvgprlemladdrl  7571  cauappcvgprlem1  7573  cauappcvgprlem2  7574  caucvgprlemm  7582  caucvgprlemopl  7583  caucvgprlemlol  7584  caucvgprlemdisj  7588  caucvgprlemloc  7589  caucvgprlem2  7594  caucvgprprlemell  7599  caucvgprprlemml  7608  caucvgprprlemopu  7613  ctiunctlemfo  12151