Theorem 1pr 7623

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	|- 1P e. P.

Proof of Theorem 1pr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7536	. 2 |- 1P = <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >.
2		1nq 7435	. . 3 |- 1Q e. Q.
3		nqprlu 7616	. . 3 |- ( 1Q e. Q. -> <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. e. P. )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. e. P.
5	1, 4	eqeltri 2269	1 |- 1P e. P.

Syntax hints:   e. wcel 2167   {cab 2182   <.cop 3626   class class class wbr 4034   Q.cnq 7349   1Qc1q 7350   <Q cltq 7354   P.cnp 7360   1Pc1p 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 7373  df-pli 7374  df-mi 7375  df-lti 7376  df-plpq 7413  df-mpq 7414  df-enq 7416  df-nqqs 7417  df-plqqs 7418  df-mqqs 7419  df-1nqqs 7420  df-rq 7421  df-ltnqqs 7422  df-inp 7535  df-i1p 7536

This theorem is referenced by:  1idprl  7659  1idpru  7660  1idpr  7661  recexprlemex  7706  ltmprr  7711  gt0srpr  7817  0r  7819  1sr  7820  m1r  7821  m1p1sr  7829  m1m1sr  7830  0lt1sr  7834  0idsr  7836  1idsr  7837  00sr  7838  recexgt0sr  7842  archsr  7851  srpospr  7852  prsrcl  7853  prsrpos  7854  prsradd  7855  prsrlt  7856  caucvgsrlembound  7863  ltpsrprg  7872  mappsrprg  7873  map2psrprg  7874  suplocsrlemb  7875  suplocsrlempr  7876  pitonnlem1p1  7915  pitonnlem2  7916  pitonn  7917  pitoregt0  7918  pitore  7919  recnnre  7920  recidpirqlemcalc  7926  recidpirq  7927