Theorem 1pr 7608

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	|- 1P e. P.

Proof of Theorem 1pr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7521	. 2 |- 1P = <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >.
2		1nq 7420	. . 3 |- 1Q e. Q.
3		nqprlu 7601	. . 3 |- ( 1Q e. Q. -> <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. e. P. )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. e. P.
5	1, 4	eqeltri 2266	1 |- 1P e. P.

Syntax hints:   e. wcel 2164   {cab 2179   <.cop 3621   class class class wbr 4029   Q.cnq 7334   1Qc1q 7335   <Q cltq 7339   P.cnp 7345   1Pc1p 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4318  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-recs 6353  df-irdg 6418  df-1o 6464  df-oadd 6468  df-omul 6469  df-er 6582  df-ec 6584  df-qs 6588  df-ni 7358  df-pli 7359  df-mi 7360  df-lti 7361  df-plpq 7398  df-mpq 7399  df-enq 7401  df-nqqs 7402  df-plqqs 7403  df-mqqs 7404  df-1nqqs 7405  df-rq 7406  df-ltnqqs 7407  df-inp 7520  df-i1p 7521

This theorem is referenced by:  1idprl  7644  1idpru  7645  1idpr  7646  recexprlemex  7691  ltmprr  7696  gt0srpr  7802  0r  7804  1sr  7805  m1r  7806  m1p1sr  7814  m1m1sr  7815  0lt1sr  7819  0idsr  7821  1idsr  7822  00sr  7823  recexgt0sr  7827  archsr  7836  srpospr  7837  prsrcl  7838  prsrpos  7839  prsradd  7840  prsrlt  7841  caucvgsrlembound  7848  ltpsrprg  7857  mappsrprg  7858  map2psrprg  7859  suplocsrlemb  7860  suplocsrlempr  7861  pitonnlem1p1  7900  pitonnlem2  7901  pitonn  7902  pitoregt0  7903  pitore  7904  recnnre  7905  recidpirqlemcalc  7911  recidpirq  7912