Theorem 1idprl 7398

Description: Lemma for 1idpr 7400. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1idprl	|- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) )

Proof of Theorem 1idprl

Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3117	. . . . . 6 |- ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` 1P )
2		rexss 3164	. . . . . 6 |- ( ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` 1P ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) )
4		r19.42v 2588	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
5		1pr 7362	. . . . . . . . . . 11 |- 1P e. P.
6		prop 7283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1P e. P. -> <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. )
7		elprnql 7289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> g e. Q. )
8	6, 7	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1P e. P. /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> g e. Q. )
9	5, 8	mpan 420	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( 1st ` 1P ) -> g e. Q. )
10		prop 7283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
11		elprnql 7289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> f e. Q. )
12	10, 11	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> f e. Q. )
13		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
14	13	3ad2ant3 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
15		1prl 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1st ` 1P ) = { g | g <Q 1Q }
16	15	abeq2i 2250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( 1st ` 1P ) <-> g <Q 1Q )
17		1nq 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
18		ltmnqg 7209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. Q. /\ 1Q e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
19	17, 18	mp3an2 1303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
20	19	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
21		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
22	21	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
23	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
24	20, 23	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
25	16, 24	syl5rbb 192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
26	25	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( ( f .Q g ) <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
27	14, 26	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
28	12, 27	syl3an1 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
29	9, 28	syl3an2 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
30	29	3expia 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) ) )
31	30	pm5.32rd 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> ( ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
32	31	rexbidva 2434	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
33	4, 32	syl5rbbr 194	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
34	3, 33	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
35	34	rexbidva 2434	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
36		df-imp 7277	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> <. { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 1st ` y ) /\ v e. ( 1st ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } , { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 2nd ` y ) /\ v e. ( 2nd ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } >. )
37		mulclnq 7184	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
38	36, 37	genpelvl 7320	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
39	5, 38	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
40		prnmaxl 7296	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f )
41	10, 40	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f )
42		ltrelnq 7173	. . . . . . . . . . . . 13 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43	42	brel 4591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x <Q f -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
44		ltmnqg 7209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
46		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x e. Q. )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> f e. Q. )
48		recclnq 7200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( *Q ` f ) e. Q. )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( *Q ` f ) e. Q. )
50		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
52	45, 46, 47, 49, 51	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
53		recidnq 7201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
54	53	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
55	54	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
56	52, 55	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
57	56	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
58	43, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q )
59		mulclnq 7184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ ( *Q ` f ) e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
60	48, 59	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
61	43, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
62		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( g <Q 1Q <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
63	62, 15	elab2g 2831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <Q f -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
65	58, 64	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) )
66		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
68	47, 46, 49, 51, 67	caov12d 5952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
69	53	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
70	69	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
71		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q 1Q ) = x )
73	68, 70, 72	3eqtrrd 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
74	43, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q f -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
75		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q g ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
76	75	eqeq2d 2151	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q g ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
77	76	rspcev 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) )
78	65, 74, 77	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( x <Q f -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( 1st ` A ) -> ( x <Q f -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
80	79	ancld 323	. . . . . . 7 |- ( f e. ( 1st ` A ) -> ( x <Q f -> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
81	80	reximia 2527	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
82	41, 81	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
83	82	ex 114	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` A ) -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
84		prcdnql 7292	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( x <Q f -> x e. ( 1st ` A ) ) )
85	10, 84	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( x <Q f -> x e. ( 1st ` A ) ) )
86	85	adantrd 277	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) -> x e. ( 1st ` A ) ) )
87	86	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) -> x e. ( 1st ` A ) ) )
88	83, 87	impbid 128	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` A ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
89	35, 39, 88	3bitr4d 219	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> x e. ( 1st ` A ) ) )
90	89	eqrdv 2137	1 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7088   1Qc1q 7089   .Q cmq 7091   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093   P.cnp 7099   1Pc1p 7100   .P. cmp 7102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-imp 7277

This theorem is referenced by:  1idpr  7400