Theorem 1idprl 7531

Description: Lemma for 1idpr 7533. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1idprl	|- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) )

Proof of Theorem 1idprl

Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3162	. . . . . 6 |- ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` 1P )
2		rexss 3209	. . . . . 6 |- ( ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` 1P ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) )
4		1pr 7495	. . . . . . . . . . 11 |- 1P e. P.
5		prop 7416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1P e. P. -> <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. )
6		elprnql 7422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> g e. Q. )
7	5, 6	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1P e. P. /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> g e. Q. )
8	4, 7	mpan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( 1st ` 1P ) -> g e. Q. )
9		prop 7416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
10		elprnql 7422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> f e. Q. )
11	9, 10	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> f e. Q. )
12		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
13	12	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
14		1prl 7496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1st ` 1P ) = { g | g <Q 1Q }
15	14	abeq2i 2277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( 1st ` 1P ) <-> g <Q 1Q )
16		1nq 7307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
17		ltmnqg 7342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. Q. /\ 1Q e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
18	16, 17	mp3an2 1315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
19	18	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
20		mulidnq 7330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
21	20	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
22	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
23	19, 22	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
24	15, 23	bitr2id 192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
25	24	3adant3 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( ( f .Q g ) <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
26	13, 25	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
27	11, 26	syl3an1 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
28	8, 27	syl3an2 1262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) )
29	28	3expia 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> g e. ( 1st ` 1P ) ) ) )
30	29	pm5.32rd 447	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) /\ g e. ( 1st ` 1P ) ) -> ( ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
31	30	rexbidva 2463	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
32		r19.42v 2623	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
33	31, 32	bitr3di 194	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) ( g e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
34	3, 33	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
35	34	rexbidva 2463	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
36		df-imp 7410	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> <. { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 1st ` y ) /\ v e. ( 1st ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } , { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 2nd ` y ) /\ v e. ( 2nd ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } >. )
37		mulclnq 7317	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
38	36, 37	genpelvl 7453	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
39	4, 38	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
40		prnmaxl 7429	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f )
41	9, 40	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f )
42		ltrelnq 7306	. . . . . . . . . . . . 13 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43	42	brel 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x <Q f -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
44		ltmnqg 7342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
46		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x e. Q. )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> f e. Q. )
48		recclnq 7333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( *Q ` f ) e. Q. )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( *Q ` f ) e. Q. )
50		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
52	45, 46, 47, 49, 51	caovord2d 6011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
53		recidnq 7334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
54	53	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
55	54	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
56	52, 55	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
57	56	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
58	43, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q )
59		mulclnq 7317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ ( *Q ` f ) e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
60	48, 59	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
61	43, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
62		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( g <Q 1Q <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
63	62, 14	elab2g 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x <Q f -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) <-> ( x .Q ( *Q ` f ) ) <Q 1Q ) )
65	58, 64	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q f -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) )
66		mulassnqg 7325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
68	47, 46, 49, 51, 67	caov12d 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
69	53	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
70	69	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
71		mulidnq 7330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q 1Q ) = x )
73	68, 70, 72	3eqtrrd 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
74	43, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q f -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
75		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q g ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
76	75	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q g ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
77	76	rspcev 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 1st ` 1P ) /\ x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) )
78	65, 74, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( x <Q f -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( 1st ` A ) -> ( x <Q f -> E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
80	79	ancld 323	. . . . . . 7 |- ( f e. ( 1st ` A ) -> ( x <Q f -> ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
81	80	reximia 2561	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( 1st ` A ) x <Q f -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
82	41, 81	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 1st ` A ) ) -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) )
83	82	ex 114	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` A ) -> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
84		prcdnql 7425	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( x <Q f -> x e. ( 1st ` A ) ) )
85	9, 84	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( x <Q f -> x e. ( 1st ` A ) ) )
86	85	adantrd 277	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) -> x e. ( 1st ` A ) ) )
87	86	rexlimdva 2583	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) -> x e. ( 1st ` A ) ) )
88	83, 87	impbid 128	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` A ) <-> E. f e. ( 1st ` A ) ( x <Q f /\ E. g e. ( 1st ` 1P ) x = ( f .Q g ) ) ) )
89	35, 39, 88	3bitr4d 219	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) <-> x e. ( 1st ` A ) ) )
90	89	eqrdv 2163	1 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   Q.cnq 7221   1Qc1q 7222   .Q cmq 7224   *Qcrq 7225   <Q cltq 7226   P.cnp 7232   1Pc1p 7233   .P. cmp 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-imp 7410

This theorem is referenced by:  1idpr  7533