Theorem lmodnegadd 14300

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	|- V = ( Base ` W )
lmodnegadd.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodnegadd.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodnegadd.n	|- N = ( invg ` W )
lmodnegadd.r	|- R = (Scalar ` W )
lmodnegadd.k	|- K = ( Base ` R )
lmodnegadd.i	|- I = ( invg ` R )
lmodnegadd.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodnegadd.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodnegadd.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodnegadd.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodnegadd.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	|- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodabl 14298	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> W e. Abel )
4		lmodnegadd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
5		lmodnegadd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14269	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
12		lmodnegadd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. K )
13		lmodnegadd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14269	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ Y e. V ) -> ( B .x. Y ) e. V )
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. V )
16		lmodnegadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
17		lmodnegadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
18	6, 16, 17	ablinvadd 13847	. . 3 |- ( ( W e. Abel /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
20		lmodnegadd.i	. . . 4 |- I = ( invg ` R )
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 14295	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( A .x. X ) ) = ( ( I ` A ) .x. X ) )
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 14295	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( B .x. Y ) ) = ( ( I ` B ) .x. Y ) )
23	21, 22	oveq12d 6019	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   invgcminusg 13534   Abelcabl 13822   LModclmod 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-lmod 14253

This theorem is referenced by: (None)