Theorem lmodnegadd 13892

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	|- V = ( Base ` W )
lmodnegadd.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodnegadd.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodnegadd.n	|- N = ( invg ` W )
lmodnegadd.r	|- R = (Scalar ` W )
lmodnegadd.k	|- K = ( Base ` R )
lmodnegadd.i	|- I = ( invg ` R )
lmodnegadd.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodnegadd.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodnegadd.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodnegadd.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodnegadd.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	|- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodabl 13890	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> W e. Abel )
4		lmodnegadd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
5		lmodnegadd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 13861	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
12		lmodnegadd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. K )
13		lmodnegadd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 13861	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ Y e. V ) -> ( B .x. Y ) e. V )
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. V )
16		lmodnegadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
17		lmodnegadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
18	6, 16, 17	ablinvadd 13440	. . 3 |- ( ( W e. Abel /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
20		lmodnegadd.i	. . . 4 |- I = ( invg ` R )
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 13887	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( A .x. X ) ) = ( ( I ` A ) .x. X ) )
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 13887	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( B .x. Y ) ) = ( ( I ` B ) .x. Y ) )
23	21, 22	oveq12d 5940	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   invgcminusg 13133   Abelcabl 13415   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by: (None)