Theorem lmodnegadd 14610

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	|- V = ( Base ` W )
lmodnegadd.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodnegadd.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodnegadd.n	|- N = ( invg ` W )
lmodnegadd.r	|- R = (Scalar ` W )
lmodnegadd.k	|- K = ( Base ` R )
lmodnegadd.i	|- I = ( invg ` R )
lmodnegadd.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodnegadd.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodnegadd.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodnegadd.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodnegadd.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	|- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodabl 14608	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> W e. Abel )
4		lmodnegadd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
5		lmodnegadd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14579	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
12		lmodnegadd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. K )
13		lmodnegadd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 14579	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ Y e. V ) -> ( B .x. Y ) e. V )
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. V )
16		lmodnegadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
17		lmodnegadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
18	6, 16, 17	ablinvadd 14063	. . 3 |- ( ( W e. Abel /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
20		lmodnegadd.i	. . . 4 |- I = ( invg ` R )
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 14605	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( A .x. X ) ) = ( ( I ` A ) .x. X ) )
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 14605	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( B .x. Y ) ) = ( ( I ` B ) .x. Y ) )
23	21, 22	oveq12d 6076	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374  Scalarcsca 13377   .scvsca 13378   invgcminusg 13756   Abelcabl 14038   LModclmod 14561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-cmn 14039  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241  df-lmod 14563

This theorem is referenced by: (None)