Theorem grpinvadd 13153

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13123	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7	6	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
8	4, 5	grpinvcl 13123	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
9	8	3adant3 1019	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
11	4, 10	grpcl 13083	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
13	4, 10	grpass 13084	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13126	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
17	16	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
18	17	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) )
19	4, 10	grpass 13084	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
21	4, 10, 15	grplid 13106	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( N ` X ) )
24	23	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) = ( X .+ ( N ` X ) ) )
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13126	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	25	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
27	14, 24, 26	3eqtrd 2230	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
28	4, 10	grpcl 13083	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13127	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ Y ) e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
31	27, 30	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13157  mulgaddcomlem  13218  mulginvcom  13220  mulgdir  13227  eqger  13297  eqgcpbl  13301  ablinvadd  13383  ablsub2inv  13384  invghm  13402  rdivmuldivd  13643