Theorem grpinvadd 13454

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13424	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7	6	3adant2 1019	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
8	4, 5	grpinvcl 13424	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
9	8	3adant3 1020	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
11	4, 10	grpcl 13384	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
13	4, 10	grpass 13385	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13427	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
17	16	3adant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
18	17	oveq1d 5966	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) )
19	4, 10	grpass 13385	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1252	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
21	4, 10, 15	grplid 13407	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2247	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( N ` X ) )
24	23	oveq2d 5967	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) = ( X .+ ( N ` X ) ) )
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13427	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	25	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
27	14, 24, 26	3eqtrd 2243	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
28	4, 10	grpcl 13384	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13428	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ Y ) e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
31	27, 30	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   0gc0g 13132   Grpcgrp 13376   invgcminusg 13377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13458  mulgaddcomlem  13525  mulginvcom  13527  mulgdir  13534  eqger  13604  eqgcpbl  13608  ablinvadd  13690  ablsub2inv  13691  invghm  13709  rdivmuldivd  13950