ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpinvadd Unicode version

Theorem grpinvadd 12834
Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinvadd.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpinvadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpinvadd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  G )
64, 5grpinvcl 12808 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
763adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
84, 5grpinvcl 12808 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
983adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 grpinvadd.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
114, 10grpcl 12772 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  Y )  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )
121, 7, 9, 11syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B )
134, 10grpass 12773 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) ) )
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
164, 10, 15, 5grprinv 12810 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
17163adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
1817oveq1d 5884 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( N `  X ) ) )
194, 10grpass 12773 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  ( N `  Y
)  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `  X ) )  =  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( Y  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) ) )
214, 10, 15grplid 12793 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
221, 9, 21syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2318, 20, 223eqtr3d 2218 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
2423oveq2d 5885 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )  =  ( X  .+  ( N `  X )
) )
254, 10, 15, 5grprinv 12810 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
26253adant3 1017 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
2714, 24, 263eqtrd 2214 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
284, 10grpcl 12772 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
294, 10, 15, 5grpinvid1 12811 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
301, 28, 12, 29syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
3127, 30mpbird 167 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   0gc0g 12650   Grpcgrp 12764   invgcminusg 12765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-inn 8906  df-2 8964  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707  df-grp 12767  df-minusg 12768
This theorem is referenced by:  grpinvsub  12838  mulgaddcomlem  12891  mulginvcom  12893  mulgdir  12900  ablinvadd  12937  ablsub2inv  12938
  Copyright terms: Public domain W3C validator