Theorem grpinvadd 13280

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13250	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7	6	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
8	4, 5	grpinvcl 13250	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
9	8	3adant3 1019	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
11	4, 10	grpcl 13210	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
13	4, 10	grpass 13211	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13253	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
17	16	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
18	17	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) )
19	4, 10	grpass 13211	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
21	4, 10, 15	grplid 13233	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2237	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( N ` X ) )
24	23	oveq2d 5941	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) = ( X .+ ( N ` X ) ) )
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13253	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	25	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
27	14, 24, 26	3eqtrd 2233	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
28	4, 10	grpcl 13210	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13254	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ Y ) e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
31	27, 30	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13284  mulgaddcomlem  13351  mulginvcom  13353  mulgdir  13360  eqger  13430  eqgcpbl  13434  ablinvadd  13516  ablsub2inv  13517  invghm  13535  rdivmuldivd  13776