Theorem grpinvadd 13597

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpinvadd.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13567	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
7	6	3adant2 1040	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
8	4, 5	grpinvcl 13567	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
9	8	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
11	4, 10	grpcl 13527	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
13	4, 10	grpass 13528	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16	4, 10, 15, 5	grprinv 13570	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
17	16	3adant2 1040	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
18	17	oveq1d 6009	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) )
19	4, 10	grpass 13528	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
21	4, 10, 15	grplid 13550	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
22	1, 9, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2270	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( N ` X ) )
24	23	oveq2d 6010	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) = ( X .+ ( N ` X ) ) )
25	4, 10, 15, 5	grprinv 13570	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	25	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
27	14, 24, 26	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
28	4, 10	grpcl 13527	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 13571	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .+ Y ) e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
31	27, 30	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   0gc0g 13275   Grpcgrp 13519   invgcminusg 13520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523

This theorem is referenced by:  grpinvsub  13601  mulgaddcomlem  13668  mulginvcom  13670  mulgdir  13677  eqger  13747  eqgcpbl  13751  ablinvadd  13833  ablsub2inv  13834  invghm  13852  rdivmuldivd  14093