Proof of Theorem acexmidlemcase
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | acexmidlem.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)} |
2 | | onsucelsucexmidlem 4513 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝑥 ∈ {∅, {∅}}
∣ (𝑥 = ∅ ∨
𝜑)} ∈
On |
3 | 1, 2 | eqeltri 2243 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐴 ∈ On |
4 | | prid1g 3687 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) |
5 | 3, 4 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} |
6 | | acexmidlem.c |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐶 = {𝐴, 𝐵} |
7 | 5, 6 | eleqtrri 2246 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐴 ∈ 𝐶 |
8 | | eleq1 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ 𝑢)) |
9 | 8 | anbi1d 462 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
10 | 9 | rexbidv 2471 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
11 | 10 | reueqd 2675 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∃!𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
12 | 11 | rspcv 2830 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃!𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
13 | 7, 12 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃!𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) |
14 | | riotacl 5823 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃!𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐴) |
15 | 13, 14 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐴) |
16 | | elrabi 2883 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = ∅ ∨ 𝜑)} → (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅,
{∅}}) |
17 | 16, 1 | eleq2s 2265 |
. . . . . . . . 9
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐴 → (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅,
{∅}}) |
18 | | elpri 3606 |
. . . . . . . . 9
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅, {∅}} →
((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) |
19 | 15, 17, 18 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) |
20 | | eleq1 2233 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅} → ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐴 ↔ {∅} ∈ 𝐴)) |
21 | 15, 20 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅} → {∅} ∈ 𝐴)) |
22 | 21 | orim2d 783 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}) → ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ {∅} ∈ 𝐴))) |
23 | 19, 22 | mpd 13 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ {∅} ∈ 𝐴)) |
24 | | acexmidlem.b |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ 𝜑)} |
25 | | pp0ex 4175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {∅,
{∅}} ∈ V |
26 | 25 | rabex 4133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝑥 ∈ {∅, {∅}}
∣ (𝑥 = {∅} ∨
𝜑)} ∈ V |
27 | 24, 26 | eqeltri 2243 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐵 ∈ V |
28 | 27 | prid2 3690 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} |
29 | 28, 6 | eleqtrri 2246 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐵 ∈ 𝐶 |
30 | | eleq1 2233 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑢 ↔ 𝐵 ∈ 𝑢)) |
31 | 30 | anbi1d 462 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
32 | 31 | rexbidv 2471 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
33 | 32 | reueqd 2675 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∃!𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
34 | 33 | rspcv 2830 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (∀𝑧 ∈ 𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃!𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))) |
35 | 29, 34 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ∃!𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) |
36 | | riotacl 5823 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃!𝑣 ∈
𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐵) |
37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐵) |
38 | | elrabi 2883 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {𝑥 ∈ {∅, {∅}} ∣ (𝑥 = {∅} ∨ 𝜑)} → (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅,
{∅}}) |
39 | 38, 24 | eleq2s 2265 |
. . . . . . . . 9
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐵 → (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅,
{∅}}) |
40 | | elpri 3606 |
. . . . . . . . 9
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ {∅, {∅}} →
((℩𝑣 ∈
𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) |
41 | 37, 39, 40 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) |
42 | | eleq1 2233 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((℩𝑣
∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ → ((℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)) |
43 | 37, 42 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ → ∅ ∈ 𝐵)) |
44 | 43 | orim1d 782 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (((℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}) → (∅ ∈ 𝐵 ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) |
45 | 41, 44 | mpd 13 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (∅ ∈ 𝐵 ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) |
46 | 23, 45 | jca 304 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → (((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ {∅} ∈ 𝐴) ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) |
47 | | anddi 816 |
. . . . . 6
⊢
((((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∨ {∅} ∈ 𝐴) ∧ (∅ ∈ 𝐵 ∨ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ↔
((((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ∨ (({∅} ∈
𝐴 ∧ ∅ ∈
𝐵) ∨ ({∅} ∈
𝐴 ∧
(℩𝑣 ∈
𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
48 | 46, 47 | sylib 121 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ∨ (({∅} ∈
𝐴 ∧ ∅ ∈
𝐵) ∨ ({∅} ∈
𝐴 ∧
(℩𝑣 ∈
𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
49 | | simpl 108 |
. . . . . . 7
⊢
(({∅} ∈ 𝐴
∧ ∅ ∈ 𝐵)
→ {∅} ∈ 𝐴) |
50 | | simpl 108 |
. . . . . . 7
⊢
(({∅} ∈ 𝐴
∧ (℩𝑣
∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}) → {∅} ∈ 𝐴) |
51 | 49, 50 | jaoi 711 |
. . . . . 6
⊢
((({∅} ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ({∅} ∈ 𝐴 ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) → {∅} ∈
𝐴) |
52 | 51 | orim2i 756 |
. . . . 5
⊢
(((((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ∨ (({∅} ∈
𝐴 ∧ ∅ ∈
𝐵) ∨ ({∅} ∈
𝐴 ∧
(℩𝑣 ∈
𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) →
((((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ∨ {∅} ∈ 𝐴)) |
53 | 48, 52 | syl 14 |
. . . 4
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ((((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ∨ {∅} ∈ 𝐴)) |
54 | 53 | orcomd 724 |
. . 3
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ({∅} ∈ 𝐴 ∨ (((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
55 | | simpr 109 |
. . . . 5
⊢
(((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) → ∅ ∈ 𝐵) |
56 | 55 | orim1i 755 |
. . . 4
⊢
((((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) → (∅ ∈ 𝐵 ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) |
57 | 56 | orim2i 756 |
. . 3
⊢
(({∅} ∈ 𝐴
∨ (((℩𝑣
∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ ∅ ∈ 𝐵) ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) → ({∅} ∈
𝐴 ∨ (∅ ∈
𝐵 ∨
((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
58 | 54, 57 | syl 14 |
. 2
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ({∅} ∈ 𝐴 ∨ (∅ ∈ 𝐵 ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
59 | | 3orass 976 |
. 2
⊢
(({∅} ∈ 𝐴
∨ ∅ ∈ 𝐵 ∨
((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})) ↔ ({∅} ∈
𝐴 ∨ (∅ ∈
𝐵 ∨
((℩𝑣 ∈
𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅})))) |
60 | 58, 59 | sylibr 133 |
1
⊢
(∀𝑧 ∈
𝐶 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) → ({∅} ∈ 𝐴 ∨ ∅ ∈ 𝐵 ∨ ((℩𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐴 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = ∅ ∧ (℩𝑣 ∈ 𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢)) = {∅}))) |