Theorem addcompig 7455

Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcompig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( B +N A ) )

Proof of Theorem addcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7435	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7435	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnacom 6580	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )
5		addpiord 7442	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
6		addpiord 7442	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B +N A ) = ( B +o A ) )
7	6	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B +N A ) = ( B +o A ) )
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2249	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( B +N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   omcom 4643  (class class class)co 5954   +o coa 6509   N.cnpi 7398   +N cpli 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-oadd 6516  df-ni 7430  df-pli 7431

This theorem is referenced by:  addcomnqg  7507