Theorem addpiord 7328

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4670	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5551	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( +o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5891	. . . 4 |- ( A +N B ) = ( +N ` <. A , B >. )
4		df-pli 7317	. . . . 5 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5528	. . . 4 |- ( +N ` <. A , B >. ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2208	. . 3 |- ( A +N B ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5891	. . 3 |- ( A +o B ) = ( +o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2245	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   <.cop 3607   X. cxp 4636   |` cres 4640   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   +o coa 6427   N.cnpi 7284   +N cpli 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-res 4650  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pli 7317

This theorem is referenced by:  addclpi  7339  addcompig  7341  addasspig  7342  distrpig  7345  addcanpig  7346  addnidpig  7348  ltexpi  7349  ltapig  7350  1lt2pi  7352  indpi  7354  archnqq  7429  prarloclemarch2  7431  nqnq0a  7466