Theorem addpiord 7596

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4763	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5672	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( +o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 6031	. . . 4 |- ( A +N B ) = ( +N ` <. A , B >. )
4		df-pli 7585	. . . . 5 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5649	. . . 4 |- ( +N ` <. A , B >. ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2252	. . 3 |- ( A +N B ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 6031	. . 3 |- ( A +o B ) = ( +o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   X. cxp 4729   |` cres 4733   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   +o coa 6622   N.cnpi 7552   +N cpli 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-res 4743  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pli 7585

This theorem is referenced by:  addclpi  7607  addcompig  7609  addasspig  7610  distrpig  7613  addcanpig  7614  addnidpig  7616  ltexpi  7617  ltapig  7618  1lt2pi  7620  indpi  7622  archnqq  7697  prarloclemarch2  7699  nqnq0a  7734