ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpiord Unicode version

Theorem addpiord 7293
Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addpiord  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem addpiord
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4654 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
2 fvres 5534 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )  =  (  +o  `  <. A ,  B >. )
)
3 df-ov 5871 . . . 4  |-  ( A  +N  B )  =  (  +N  `  <. A ,  B >. )
4 df-pli 7282 . . . . 5  |-  +N  =  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )
54fveq1i 5511 . . . 4  |-  (  +N 
`  <. A ,  B >. )  =  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )
63, 5eqtri 2198 . . 3  |-  ( A  +N  B )  =  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `
 <. A ,  B >. )
7 df-ov 5871 . . 3  |-  ( A  +o  B )  =  (  +o  `  <. A ,  B >. )
82, 6, 73eqtr4g 2235 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +o  B ) )
91, 8syl 14 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3594    X. cxp 4620    |` cres 4624   ` cfv 5211  (class class class)co 5868    +o coa 6407   N.cnpi 7249    +N cpli 7250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-res 4634  df-iota 5173  df-fv 5219  df-ov 5871  df-pli 7282
This theorem is referenced by:  addclpi  7304  addcompig  7306  addasspig  7307  distrpig  7310  addcanpig  7311  addnidpig  7313  ltexpi  7314  ltapig  7315  1lt2pi  7317  indpi  7319  archnqq  7394  prarloclemarch2  7396  nqnq0a  7431
  Copyright terms: Public domain W3C validator