ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpiord Unicode version

Theorem addpiord 7328
Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addpiord  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem addpiord
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4670 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
2 fvres 5551 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )  =  (  +o  `  <. A ,  B >. )
)
3 df-ov 5891 . . . 4  |-  ( A  +N  B )  =  (  +N  `  <. A ,  B >. )
4 df-pli 7317 . . . . 5  |-  +N  =  (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) )
54fveq1i 5528 . . . 4  |-  (  +N 
`  <. A ,  B >. )  =  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `  <. A ,  B >. )
63, 5eqtri 2208 . . 3  |-  ( A  +N  B )  =  ( (  +o  |`  ( N.  X.  N. ) ) `
 <. A ,  B >. )
7 df-ov 5891 . . 3  |-  ( A  +o  B )  =  (  +o  `  <. A ,  B >. )
82, 6, 73eqtr4g 2245 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +o  B ) )
91, 8syl 14 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   <.cop 3607    X. cxp 4636    |` cres 4640   ` cfv 5228  (class class class)co 5888    +o coa 6427   N.cnpi 7284    +N cpli 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-res 4650  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pli 7317
This theorem is referenced by:  addclpi  7339  addcompig  7341  addasspig  7342  distrpig  7345  addcanpig  7346  addnidpig  7348  ltexpi  7349  ltapig  7350  1lt2pi  7352  indpi  7354  archnqq  7429  prarloclemarch2  7431  nqnq0a  7466
  Copyright terms: Public domain W3C validator