Theorem addpiord 7631

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4781	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5694	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( +o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 6053	. . . 4 |- ( A +N B ) = ( +N ` <. A , B >. )
4		df-pli 7620	. . . . 5 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5671	. . . 4 |- ( +N ` <. A , B >. ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2253	. . 3 |- ( A +N B ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 6053	. . 3 |- ( A +o B ) = ( +o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2290	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   X. cxp 4747   |` cres 4751   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   +o coa 6644   N.cnpi 7587   +N cpli 7588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pli 7620

This theorem is referenced by:  addclpi  7642  addcompig  7644  addasspig  7645  distrpig  7648  addcanpig  7649  addnidpig  7651  ltexpi  7652  ltapig  7653  1lt2pi  7655  indpi  7657  archnqq  7732  prarloclemarch2  7734  nqnq0a  7769