ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomnqg Unicode version

Theorem addcomnqg 7201
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcomnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( B  +Q  A ) )

Proof of Theorem addcomnqg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7168 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 7190 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
3 addpipqqs 7190 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  y
)  +N  ( w  .N  x ) ) ,  ( w  .N  y ) >. ]  ~Q  )
4 mulcompig 7151 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  =  ( w  .N  x ) )
5 mulcompig 7151 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  =  ( z  .N  y ) )
64, 5oveqan12d 5793 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) ) )
76an42s 578 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) ) )
8 mulclpi 7148 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( w  .N  x
)  e.  N. )
98ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( w  .N  x
)  e.  N. )
109ad2ant2rl 502 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  x )  e.  N. )
11 mulclpi 7148 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( z  .N  y
)  e.  N. )
1211ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( z  .N  y
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 501 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  y )  e.  N. )
14 addcompig 7149 . . . 4  |-  ( ( ( w  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  y
)  e.  N. )  ->  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  ( w  .N  x ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  x )  +N  ( z  .N  y ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  (
w  .N  x ) ) )
167, 15eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  (
w  .N  x ) ) )
17 mulcompig 7151 . . 3  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( w  .N  y ) )
1817ad2ant2l 499 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  w )  =  ( w  .N  y ) )
191, 2, 3, 16, 18ecovicom 6537 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( B  +Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   N.cnpi 7092    +N cpli 7093    .N cmi 7094    ~Q ceq 7099   Q.cnq 7100    +Q cplq 7102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-plpq 7164  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169
This theorem is referenced by:  lt2addnq  7224  ltaddnq  7227  prarloclemarch2  7239  addlocprlemeqgt  7352  addlocprlemgt  7354  addclpr  7357  prmuloclemcalc  7385  addcomprg  7398  distrlem4prl  7404  distrlem4pru  7405  ltexprlemm  7420  ltexprlemdisj  7426  ltexprlemloc  7427  ltexprlemfl  7429  ltexprlemrl  7430  ltexprlemfu  7431  ltexprlemru  7432  addcanprleml  7434  addcanprlemu  7435  prplnqu  7440  aptiprleml  7459  aptiprlemu  7460  cauappcvgprlemopl  7466  cauappcvgprlemlol  7467  cauappcvgprlemdisj  7471  cauappcvgprlemloc  7472  cauappcvgprlemladdfu  7474  cauappcvgprlemladdfl  7475  cauappcvgprlemladdru  7476  cauappcvgprlemladdrl  7477  cauappcvgprlem1  7479  caucvgprlemnkj  7486  caucvgprlemnbj  7487  caucvgprlemopl  7489  caucvgprlemlol  7490  caucvgprlemloc  7495  caucvgprlemladdfu  7497  caucvgprlemladdrl  7498  caucvgprprlemopl  7517  caucvgprprlemlol  7518
  Copyright terms: Public domain W3C validator