Theorem addcomnqg 7644

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7611	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7633	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7633	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) , ( w .N y ) >. ] ~Q )
4		mulcompig 7594	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( w .N x ) )
5		mulcompig 7594	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) = ( z .N y ) )
6	4, 5	oveqan12d 6047	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
7	6	an42s 593	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
8		mulclpi 7591	. . . . . 6 |- ( ( w e. N. /\ x e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
9	8	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
10	9	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( w .N x ) e. N. )
11		mulclpi 7591	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ y e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
12	11	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( z .N y ) e. N. )
14		addcompig 7592	. . . 4 |- ( ( ( w .N x ) e. N. /\ ( z .N y ) e. N. ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
15	10, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
16	7, 15	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
17		mulcompig 7594	. . 3 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
18	17	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6855	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   N.cnpi 7535   +N cpli 7536   .N cmi 7537   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   +Q cplq 7545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-plpq 7607  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7667  ltaddnq  7670  prarloclemarch2  7682  addlocprlemeqgt  7795  addlocprlemgt  7797  addclpr  7800  prmuloclemcalc  7828  addcomprg  7841  distrlem4prl  7847  distrlem4pru  7848  ltexprlemm  7863  ltexprlemdisj  7869  ltexprlemloc  7870  ltexprlemfl  7872  ltexprlemrl  7873  ltexprlemfu  7874  ltexprlemru  7875  addcanprleml  7877  addcanprlemu  7878  prplnqu  7883  aptiprleml  7902  aptiprlemu  7903  cauappcvgprlemopl  7909  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemdisj  7914  cauappcvgprlemloc  7915  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdfl  7918  cauappcvgprlemladdru  7919  cauappcvgprlemladdrl  7920  cauappcvgprlem1  7922  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprlemopl  7932  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemloc  7938  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprlemladdrl  7941  caucvgprprlemopl  7960  caucvgprprlemlol  7961