Theorem addcomnqg 7514

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7481	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7503	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7503	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) , ( w .N y ) >. ] ~Q )
4		mulcompig 7464	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( w .N x ) )
5		mulcompig 7464	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) = ( z .N y ) )
6	4, 5	oveqan12d 5976	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
7	6	an42s 589	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
8		mulclpi 7461	. . . . . 6 |- ( ( w e. N. /\ x e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
9	8	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
10	9	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( w .N x ) e. N. )
11		mulclpi 7461	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ y e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
12	11	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( z .N y ) e. N. )
14		addcompig 7462	. . . 4 |- ( ( ( w .N x ) e. N. /\ ( z .N y ) e. N. ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
15	10, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
16	7, 15	eqtrd 2239	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
17		mulcompig 7464	. . 3 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
18	17	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6743	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177  (class class class)co 5957   N.cnpi 7405   +N cpli 7406   .N cmi 7407   ~Q ceq 7412   Q.cnq 7413   +Q cplq 7415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-plpq 7477  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7537  ltaddnq  7540  prarloclemarch2  7552  addlocprlemeqgt  7665  addlocprlemgt  7667  addclpr  7670  prmuloclemcalc  7698  addcomprg  7711  distrlem4prl  7717  distrlem4pru  7718  ltexprlemm  7733  ltexprlemdisj  7739  ltexprlemloc  7740  ltexprlemfl  7742  ltexprlemrl  7743  ltexprlemfu  7744  ltexprlemru  7745  addcanprleml  7747  addcanprlemu  7748  prplnqu  7753  aptiprleml  7772  aptiprlemu  7773  cauappcvgprlemopl  7779  cauappcvgprlemlol  7780  cauappcvgprlemdisj  7784  cauappcvgprlemloc  7785  cauappcvgprlemladdfu  7787  cauappcvgprlemladdfl  7788  cauappcvgprlemladdru  7789  cauappcvgprlemladdrl  7790  cauappcvgprlem1  7792  caucvgprlemnkj  7799  caucvgprlemnbj  7800  caucvgprlemopl  7802  caucvgprlemlol  7803  caucvgprlemloc  7808  caucvgprlemladdfu  7810  caucvgprlemladdrl  7811  caucvgprprlemopl  7830  caucvgprprlemlol  7831