Theorem addcomnqg 7001

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6968	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 6990	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 6990	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) , ( w .N y ) >. ] ~Q )
4		mulcompig 6951	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( w .N x ) )
5		mulcompig 6951	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) = ( z .N y ) )
6	4, 5	oveqan12d 5685	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
7	6	an42s 557	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
8		mulclpi 6948	. . . . . 6 |- ( ( w e. N. /\ x e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
9	8	ancoms 265	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
10	9	ad2ant2rl 496	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( w .N x ) e. N. )
11		mulclpi 6948	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ y e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
12	11	ancoms 265	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 495	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( z .N y ) e. N. )
14		addcompig 6949	. . . 4 |- ( ( ( w .N x ) e. N. /\ ( z .N y ) e. N. ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
15	10, 13, 14	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
16	7, 15	eqtrd 2121	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
17		mulcompig 6951	. . 3 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
18	17	ad2ant2l 493	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6414	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5666   N.cnpi 6892   +N cpli 6893   .N cmi 6894   ~Q ceq 6899   Q.cnq 6900   +Q cplq 6902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-plpq 6964  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7024  ltaddnq  7027  prarloclemarch2  7039  addlocprlemeqgt  7152  addlocprlemgt  7154  addclpr  7157  prmuloclemcalc  7185  addcomprg  7198  distrlem4prl  7204  distrlem4pru  7205  ltexprlemm  7220  ltexprlemdisj  7226  ltexprlemloc  7227  ltexprlemfl  7229  ltexprlemrl  7230  ltexprlemfu  7231  ltexprlemru  7232  addcanprleml  7234  addcanprlemu  7235  prplnqu  7240  aptiprleml  7259  aptiprlemu  7260  cauappcvgprlemopl  7266  cauappcvgprlemlol  7267  cauappcvgprlemdisj  7271  cauappcvgprlemloc  7272  cauappcvgprlemladdfu  7274  cauappcvgprlemladdfl  7275  cauappcvgprlemladdru  7276  cauappcvgprlemladdrl  7277  cauappcvgprlem1  7279  caucvgprlemnkj  7286  caucvgprlemnbj  7287  caucvgprlemopl  7289  caucvgprlemlol  7290  caucvgprlemloc  7295  caucvgprlemladdfu  7297  caucvgprlemladdrl  7298  caucvgprprlemopl  7317  caucvgprprlemlol  7318