Theorem addcomnqg 7738

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7705	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 7727	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		addpipqqs 7727	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) , ( w .N y ) >. ] ~Q )
4		mulcompig 7688	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( w .N x ) )
5		mulcompig 7688	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) = ( z .N y ) )
6	4, 5	oveqan12d 6094	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
7	6	an42s 597	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) )
8		mulclpi 7685	. . . . . 6 |- ( ( w e. N. /\ x e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
9	8	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N x ) e. N. )
10	9	ad2ant2rl 515	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( w .N x ) e. N. )
11		mulclpi 7685	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ y e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
12	11	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( z .N y ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 514	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( z .N y ) e. N. )
14		addcompig 7686	. . . 4 |- ( ( ( w .N x ) e. N. /\ ( z .N y ) e. N. ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
15	10, 13, 14	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( w .N x ) +N ( z .N y ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
16	7, 15	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) = ( ( z .N y ) +N ( w .N x ) ) )
17		mulcompig 7688	. . 3 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
18	17	ad2ant2l 512	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6907	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) = ( B +Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   N.cnpi 7629   +N cpli 7630   .N cmi 7631   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637   +Q cplq 7639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-plpq 7701  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7761  ltaddnq  7764  prarloclemarch2  7776  addlocprlemeqgt  7889  addlocprlemgt  7891  addclpr  7894  prmuloclemcalc  7922  addcomprg  7935  distrlem4prl  7941  distrlem4pru  7942  ltexprlemm  7957  ltexprlemdisj  7963  ltexprlemloc  7964  ltexprlemfl  7966  ltexprlemrl  7967  ltexprlemfu  7968  ltexprlemru  7969  addcanprleml  7971  addcanprlemu  7972  prplnqu  7977  aptiprleml  7996  aptiprlemu  7997  cauappcvgprlemopl  8003  cauappcvgprlemlol  8004  cauappcvgprlemdisj  8008  cauappcvgprlemloc  8009  cauappcvgprlemladdfu  8011  cauappcvgprlemladdfl  8012  cauappcvgprlemladdru  8013  cauappcvgprlemladdrl  8014  cauappcvgprlem1  8016  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprlemopl  8026  caucvgprlemlol  8027  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlemladdrl  8035  caucvgprprlemopl  8054  caucvgprprlemlol  8055