Theorem addasspig 6952

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Proof of Theorem addasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6931	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6931	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 6931	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaass 6262	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1217	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
6		addclpi 6949	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )
7		addpiord 6938	. . . . 5 |- ( ( ( A +N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
8	6, 7	sylan 278	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
9		addpiord 6938	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
10	9	oveq1d 5683	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
11	10	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2121	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
13	12	3impa 1139	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		addclpi 6949	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
15		addpiord 6938	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 281	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
17		addpiord 6938	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
18	17	oveq2d 5684	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
19	18	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2121	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
21	20	3impb 1140	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2131	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   omcom 4420  (class class class)co 5668   +o coa 6194   N.cnpi 6894   +N cpli 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-oadd 6201  df-ni 6926  df-pli 6927

This theorem is referenced by:  addassnqg  7004