Theorem addasspig 7131

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addasspig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Proof of Theorem addasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7110	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7110	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7110	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaass 6374	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1258	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
6		addclpi 7128	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )
7		addpiord 7117	. . . . 5 |- ( ( ( A +N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
8	6, 7	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
9		addpiord 7117	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
10	9	oveq1d 5782	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
12	8, 11	eqtrd 2170	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
13	12	3impa 1176	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		addclpi 7128	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
15		addpiord 7117	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
16	14, 15	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
17		addpiord 7117	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
18	17	oveq2d 5783	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
19	18	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
20	16, 19	eqtrd 2170	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
21	20	3impb 1177	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2180	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   omcom 4499  (class class class)co 5767   +o coa 6303   N.cnpi 7073   +N cpli 7074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-ni 7105  df-pli 7106

This theorem is referenced by:  addassnqg  7183