Theorem distrpig 7650

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Proof of Theorem distrpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7626	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7626	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7626	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nndi 6721	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1316	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
6		addclpi 7644	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
7		mulpiord 7634	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
9		addpiord 7633	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
10	9	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
13	12	3impb 1226	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
14		mulclpi 7645	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
15		mulclpi 7645	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
16		addpiord 7633	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
18		mulpiord 7634	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
19		mulpiord 7634	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
20	18, 19	oveqan12d 6071	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
22	21	3impdi 1330	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2277	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   omcom 4714  (class class class)co 6052   +o coa 6646   .o comu 6647   N.cnpi 7589   +N cpli 7590   .N cmi 7591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623

This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7684  addassnqg  7699  distrnqg  7704  ltanqg  7717  ltexnqq  7725