Theorem distrpig 7089

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Proof of Theorem distrpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7065	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7065	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7065	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nndi 6336	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1241	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
6		addclpi 7083	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
7		mulpiord 7073	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
8	6, 7	sylan2 282	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
9		addpiord 7072	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
10	9	oveq2d 5744	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
11	10	adantl 273	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2147	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
13	12	3impb 1160	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
14		mulclpi 7084	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
15		mulclpi 7084	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
16		addpiord 7072	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 285	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
18		mulpiord 7073	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
19		mulpiord 7073	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
20	18, 19	oveqan12d 5747	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2147	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
22	21	3impdi 1254	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2157	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   omcom 4464  (class class class)co 5728   +o coa 6264   .o comu 6265   N.cnpi 7028   +N cpli 7029   .N cmi 7030

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062

This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7123  addassnqg  7138  distrnqg  7143  ltanqg  7156  ltexnqq  7164