Theorem distrpig 7335

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Proof of Theorem distrpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7311	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7311	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7311	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nndi 6490	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1280	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
6		addclpi 7329	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
7		mulpiord 7319	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
9		addpiord 7318	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
10	9	oveq2d 5894	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
13	12	3impb 1199	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
14		mulclpi 7330	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
15		mulclpi 7330	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
16		addpiord 7318	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
18		mulpiord 7319	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
19		mulpiord 7319	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
20	18, 19	oveqan12d 5897	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
22	21	3impdi 1293	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2220	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   omcom 4591  (class class class)co 5878   +o coa 6417   .o comu 6418   N.cnpi 7274   +N cpli 7275   .N cmi 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308

This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7369  addassnqg  7384  distrnqg  7389  ltanqg  7402  ltexnqq  7410