Theorem distrpig 7393

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Proof of Theorem distrpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7369	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7369	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7369	. . 3 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nndi 6539	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1291	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
6		addclpi 7387	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
7		mulpiord 7377	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
9		addpiord 7376	. . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
10	9	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
13	12	3impb 1201	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
14		mulclpi 7388	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
15		mulclpi 7388	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
16		addpiord 7376	. . . . 5 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
18		mulpiord 7377	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
19		mulpiord 7377	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
20	18, 19	oveqan12d 5937	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
21	17, 20	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
22	21	3impdi 1304	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2236	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   omcom 4622  (class class class)co 5918   +o coa 6466   .o comu 6467   N.cnpi 7332   +N cpli 7333   .N cmi 7334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366

This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7427  addassnqg  7442  distrnqg  7447  ltanqg  7460  ltexnqq  7468