Theorem addpiord 7526

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5659	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( +o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 6016	. . . 4 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-pli 7515	. . . . 5 ⊢ +N = ( +o ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5636	. . . 4 ⊢ ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2250	. . 3 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 6016	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 𝐵) = ( +o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2287	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   × cxp 4721   ↾ cres 4725  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   +_o coa 6574  Ncnpi 7482   +_N cpli 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-res 4735  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pli 7515

This theorem is referenced by:  addclpi  7537  addcompig  7539  addasspig  7540  distrpig  7543  addcanpig  7544  addnidpig  7546  ltexpi  7547  ltapig  7548  1lt2pi  7550  indpi  7552  archnqq  7627  prarloclemarch2  7629  nqnq0a  7664