Theorem addpiord 6854

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5313	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( +𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( +𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 5637	. . . 4 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-pli 6843	. . . . 5 ⊢ +N = ( +𝑜 ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5290	. . . 4 ⊢ ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( +𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2108	. . 3 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (( +𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 5637	. . 3 ⊢ (𝐴 +𝑜 𝐵) = ( +𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2145	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ⟨cop 3444   × cxp 4426   ↾ cres 4430  ‘cfv 5002  (class class class)co 5634   +_𝑜 coa 6160  Ncnpi 6810   +_N cpli 6811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-res 4440  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pli 6843

This theorem is referenced by:  addclpi  6865  addcompig  6867  addasspig  6868  distrpig  6871  addcanpig  6872  addnidpig  6874  ltexpi  6875  ltapig  6876  1lt2pi  6878  indpi  6880  archnqq  6955  prarloclemarch2  6957  nqnq0a  6992