Theorem addpiord 7535

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4757	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5663	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( +o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 6020	. . . 4 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-pli 7524	. . . . 5 ⊢ +N = ( +o ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5640	. . . 4 ⊢ ( +N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (( +o ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 6020	. . 3 ⊢ (𝐴 +o 𝐵) = ( +o ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2289	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   × cxp 4723   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   +_o coa 6578  Ncnpi 7491   +_N cpli 7492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pli 7524

This theorem is referenced by:  addclpi  7546  addcompig  7548  addasspig  7549  distrpig  7552  addcanpig  7553  addnidpig  7555  ltexpi  7556  ltapig  7557  1lt2pi  7559  indpi  7561  archnqq  7636  prarloclemarch2  7638  nqnq0a  7673