Theorem addnidpig 6949

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6922	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		elni2 6927	. . . 4 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
3		nnaordi 6281	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
4		nna0 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
5	4	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) <-> A e. ( A +o B ) ) )
6		nnord 4439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> Ord A )
7		ordirr 4371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> -. A e. A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> -. A e. A )
9		eleq2 2152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o B ) = A -> ( A e. ( A +o B ) <-> A e. A ) )
10	9	notbid 628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o B ) = A -> ( -. A e. ( A +o B ) <-> -. A e. A ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( ( A +o B ) = A -> -. A e. ( A +o B ) ) )
12	11	con2d 590	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
13	5, 12	sylbid 149	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
14	13	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
15	3, 14	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) )
16	15	expcom 115	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) ) )
17	16	imp32 254	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> -. ( A +o B ) = A )
18	2, 17	sylan2b 282	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
19	1, 18	sylan 278	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
20		addpiord 6929	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
21	20	eqeq1d 2097	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) = A <-> ( A +o B ) = A ) )
22	19, 21	mtbird 634	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   (/)c0 3287   Ord word 4198   omcom 4418  (class class class)co 5666   +o coa 6192   N.cnpi 6885   +N cpli 6886

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-ni 6917  df-pli 6918

This theorem is referenced by: (None)