ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnidpig Unicode version

Theorem addnidpig 6949
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
addnidpig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )

Proof of Theorem addnidpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6922 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 elni2 6927 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
3 nnaordi 6281 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
4 nna0 6249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
54eleq1d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  <->  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
6 nnord 4439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 ordirr 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
9 eleq2 2152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  <->  A  e.  A ) )
109notbid 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( -.  A  e.  ( A  +o  B )  <->  -.  A  e.  A ) )
118, 10syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  B
)  =  A  ->  -.  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
1211con2d 590 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
135, 12sylbid 149 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1413adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
153, 14syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1615expcom 115 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) ) )
1716imp32 254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
182, 17sylan2b 282 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
191, 18sylan 278 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
20 addpiord 6929 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2120eqeq1d 2097 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <-> 
( A  +o  B
)  =  A ) )
2219, 21mtbird 634 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   (/)c0 3287   Ord word 4198   omcom 4418  (class class class)co 5666    +o coa 6192   N.cnpi 6885    +N cpli 6886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-ni 6917  df-pli 6918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator