Theorem addnidpig 7693

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7666	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		elni2 7671	. . . 4 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
3		nnaordi 6771	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
4		nna0 6737	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
5	4	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) <-> A e. ( A +o B ) ) )
6		nnord 4754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> Ord A )
7		ordirr 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> -. A e. A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> -. A e. A )
9		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o B ) = A -> ( A e. ( A +o B ) <-> A e. A ) )
10	9	notbid 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o B ) = A -> ( -. A e. ( A +o B ) <-> -. A e. A ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( ( A +o B ) = A -> -. A e. ( A +o B ) ) )
12	11	con2d 633	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
13	5, 12	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
15	3, 14	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) )
16	15	expcom 116	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) ) )
17	16	imp32 257	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> -. ( A +o B ) = A )
18	2, 17	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
19	1, 18	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
20		addpiord 7673	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
21	20	eqeq1d 2247	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) = A <-> ( A +o B ) = A ) )
22	19, 21	mtbird 684	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Ord word 4502   omcom 4732  (class class class)co 6075   +o coa 6674   N.cnpi 7629   +N cpli 7630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-ni 7661  df-pli 7662

This theorem is referenced by: (None)