ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnidpig Unicode version

Theorem addnidpig 7257
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
addnidpig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )

Proof of Theorem addnidpig
StepHypRef Expression
1 pinn 7230 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 elni2 7235 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
3 nnaordi 6456 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
) ) )
4 nna0 6422 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
54eleq1d 2226 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  <->  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
6 nnord 4572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 ordirr 4502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
9 eleq2 2221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  <->  A  e.  A ) )
109notbid 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  A  ->  ( -.  A  e.  ( A  +o  B )  <->  -.  A  e.  A ) )
118, 10syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  B
)  =  A  ->  -.  A  e.  ( A  +o  B ) ) )
1211con2d 614 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
135, 12sylbid 149 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1413adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  B )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) )
153, 14syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A ) )
1615expcom 115 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  (
(/)  e.  B  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  A ) ) )
1716imp32 255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
182, 17sylan2b 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
191, 18sylan 281 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  A )
20 addpiord 7237 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
2120eqeq1d 2166 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  B )  =  A  <-> 
( A  +o  B
)  =  A ) )
2219, 21mtbird 663 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  -.  ( A  +N  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   (/)c0 3394   Ord word 4323   omcom 4550  (class class class)co 5825    +o coa 6361   N.cnpi 7193    +N cpli 7194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-oadd 6368  df-ni 7225  df-pli 7226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator