Theorem addnidpig 7449

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7422	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		elni2 7427	. . . 4 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
3		nnaordi 6594	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
4		nna0 6560	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
5	4	eleq1d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) <-> A e. ( A +o B ) ) )
6		nnord 4660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> Ord A )
7		ordirr 4590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> -. A e. A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> -. A e. A )
9		eleq2 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o B ) = A -> ( A e. ( A +o B ) <-> A e. A ) )
10	9	notbid 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o B ) = A -> ( -. A e. ( A +o B ) <-> -. A e. A ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( ( A +o B ) = A -> -. A e. ( A +o B ) ) )
12	11	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
13	5, 12	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> -. ( A +o B ) = A ) )
15	3, 14	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) )
16	15	expcom 116	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> -. ( A +o B ) = A ) ) )
17	16	imp32 257	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> -. ( A +o B ) = A )
18	2, 17	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
19	1, 18	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +o B ) = A )
20		addpiord 7429	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
21	20	eqeq1d 2214	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) = A <-> ( A +o B ) = A ) )
22	19, 21	mtbird 675	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> -. ( A +N B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   Ord word 4409   omcom 4638  (class class class)co 5944   +o coa 6499   N.cnpi 7385   +N cpli 7386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-ni 7417  df-pli 7418

This theorem is referenced by: (None)