Theorem addcanpig 7544

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem addcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7526	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2	1	3adant3 1041	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
3		addpiord 7526	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
4	3	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2244	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> ( A +o B ) = ( A +o C ) ) )
6		pinn 7519	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 7519	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 7519	. . . 4 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		nnacan 6675	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )
10	9	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
11	6, 7, 8, 10	syl3an 1313	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
12	5, 11	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) -> B = C ) )
13		oveq2 6021	. 2 |- ( B = C -> ( A +N B ) = ( A +N C ) )
14	12, 13	impbid1 142	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   omcom 4686  (class class class)co 6013   +o coa 6574   N.cnpi 7482   +N cpli 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-ni 7514  df-pli 7515

This theorem is referenced by: (None)