Theorem addcanpig 7553

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem addcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7535	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2	1	3adant3 1043	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
3		addpiord 7535	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
4	3	3adant2 1042	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2246	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> ( A +o B ) = ( A +o C ) ) )
6		pinn 7528	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 7528	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 7528	. . . 4 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		nnacan 6679	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )
10	9	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
11	6, 7, 8, 10	syl3an 1315	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
12	5, 11	sylbid 150	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) -> B = C ) )
13		oveq2 6025	. 2 |- ( B = C -> ( A +N B ) = ( A +N C ) )
14	12, 13	impbid1 142	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   omcom 4688  (class class class)co 6017   +o coa 6578   N.cnpi 7491   +N cpli 7492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-ni 7523  df-pli 7524

This theorem is referenced by: (None)