Theorem addcanpig 6883

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem addcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 6865	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2	1	3adant3 963	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
3		addpiord 6865	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
4	3	3adant2 962	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N C ) = ( A +o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2102	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> ( A +o B ) = ( A +o C ) ) )
6		pinn 6858	. . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 6858	. . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 6858	. . . 4 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		nnacan 6261	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )
10	9	biimpd 142	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
11	6, 7, 8, 10	syl3an 1216	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) -> B = C ) )
12	5, 11	sylbid 148	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) -> B = C ) )
13		oveq2 5652	. 2 |- ( B = C -> ( A +N B ) = ( A +N C ) )
14	12, 13	impbid1 140	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) = ( A +N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   omcom 4403  (class class class)co 5644   +o coa 6170   N.cnpi 6821   +N cpli 6822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-ni 6853  df-pli 6854

This theorem is referenced by: (None)