ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcanpig Unicode version

Theorem addcanpig 6883
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcanpig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  <->  B  =  C ) )

Proof of Theorem addcanpig
StepHypRef Expression
1 addpiord 6865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
213adant3 963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +o  B
) )
3 addpiord 6865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C
)  =  ( A  +o  C ) )
433adant2 962 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  +N  C )  =  ( A  +o  C
) )
52, 4eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C ) ) )
6 pinn 6858 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
7 pinn 6858 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
8 pinn 6858 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
9 nnacan 6261 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  <->  B  =  C ) )
109biimpd 142 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
116, 7, 8, 10syl3an 1216 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  ->  B  =  C )
)
125, 11sylbid 148 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  ->  B  =  C )
)
13 oveq2 5652 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  +N  B )  =  ( A  +N  C
) )
1412, 13impbid1 140 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  +N  B
)  =  ( A  +N  C )  <->  B  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   omcom 4403  (class class class)co 5644    +o coa 6170   N.cnpi 6821    +N cpli 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-oadd 6177  df-ni 6853  df-pli 6854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator