Theorem mulpiord 7685

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4806	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5719	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 6088	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7674	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5696	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2259	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 6088	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2296	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4772   |` cres 4776   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   .o comu 6685   N.cnpi 7640   .N cmi 7642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-mi 7674

This theorem is used by:  mulidpi  7686  mulclpi  7696  mulcompig  7699  mulasspig  7700  distrpig  7701  mulcanpig  7703  ltmpig  7707  archnqq  7785  enq0enq  7799  addcmpblnq0  7811  mulcmpblnq0  7812  mulcanenq0ec  7813  addclnq0  7819  mulclnq0  7820  nqpnq0nq  7821  nqnq0a  7822  nqnq0m  7823  nq0m0r  7824  distrnq0  7827  addassnq0lemcl  7829