Theorem mulpiord 7268

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4641	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5518	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5854	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7257	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5495	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2191	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5854	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2228	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   X. cxp 4607   |` cres 4611   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   .o comu 6391   N.cnpi 7223   .N cmi 7225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-res 4621  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-mi 7257

This theorem is referenced by:  mulidpi  7269  mulclpi  7279  mulcompig  7282  mulasspig  7283  distrpig  7284  mulcanpig  7286  ltmpig  7290  archnqq  7368  enq0enq  7382  addcmpblnq0  7394  mulcmpblnq0  7395  mulcanenq0ec  7396  addclnq0  7402  mulclnq0  7403  nqpnq0nq  7404  nqnq0a  7405  nqnq0m  7406  nq0m0r  7407  distrnq0  7410  addassnq0lemcl  7412