Theorem mulpiord 7401

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4696	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5585	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5928	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7390	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5562	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2217	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5928	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2254	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626   X. cxp 4662   |` cres 4666   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   .o comu 6481   N.cnpi 7356   .N cmi 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-res 4676  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-mi 7390

This theorem is referenced by:  mulidpi  7402  mulclpi  7412  mulcompig  7415  mulasspig  7416  distrpig  7417  mulcanpig  7419  ltmpig  7423  archnqq  7501  enq0enq  7515  addcmpblnq0  7527  mulcmpblnq0  7528  mulcanenq0ec  7529  addclnq0  7535  mulclnq0  7536  nqpnq0nq  7537  nqnq0a  7538  nqnq0m  7539  nq0m0r  7540  distrnq0  7543  addassnq0lemcl  7545