Theorem mulpiord 7540

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4757	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5664	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 6024	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7529	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5641	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2252	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 6024	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   X. cxp 4723   |` cres 4727   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   .o comu 6583   N.cnpi 7495   .N cmi 7497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6024  df-mi 7529

This theorem is referenced by:  mulidpi  7541  mulclpi  7551  mulcompig  7554  mulasspig  7555  distrpig  7556  mulcanpig  7558  ltmpig  7562  archnqq  7640  enq0enq  7654  addcmpblnq0  7666  mulcmpblnq0  7667  mulcanenq0ec  7668  addclnq0  7674  mulclnq0  7675  nqpnq0nq  7676  nqnq0a  7677  nqnq0m  7678  nq0m0r  7679  distrnq0  7682  addassnq0lemcl  7684