Theorem mulpiord 7315

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4658	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5539	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5877	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7304	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5516	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2198	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5877	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2235	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   X. cxp 4624   |` cres 4628   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   .o comu 6414   N.cnpi 7270   .N cmi 7272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-res 4638  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-mi 7304

This theorem is referenced by:  mulidpi  7316  mulclpi  7326  mulcompig  7329  mulasspig  7330  distrpig  7331  mulcanpig  7333  ltmpig  7337  archnqq  7415  enq0enq  7429  addcmpblnq0  7441  mulcmpblnq0  7442  mulcanenq0ec  7443  addclnq0  7449  mulclnq0  7450  nqpnq0nq  7451  nqnq0a  7452  nqnq0m  7453  nq0m0r  7454  distrnq0  7457  addassnq0lemcl  7459