Theorem mulpiord 7329

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4670	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5551	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( .o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5891	. . . 4 |- ( A .N B ) = ( .N ` <. A , B >. )
4		df-mi 7318	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5528	. . . 4 |- ( .N ` <. A , B >. ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2208	. . 3 |- ( A .N B ) = ( ( .o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5891	. . 3 |- ( A .o B ) = ( .o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2245	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   <.cop 3607   X. cxp 4636   |` cres 4640   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   .o comu 6428   N.cnpi 7284   .N cmi 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-res 4650  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-mi 7318

This theorem is referenced by:  mulidpi  7330  mulclpi  7340  mulcompig  7343  mulasspig  7344  distrpig  7345  mulcanpig  7347  ltmpig  7351  archnqq  7429  enq0enq  7443  addcmpblnq0  7455  mulcmpblnq0  7456  mulcanenq0ec  7457  addclnq0  7463  mulclnq0  7464  nqpnq0nq  7465  nqnq0a  7466  nqnq0m  7467  nq0m0r  7468  distrnq0  7471  addassnq0lemcl  7473