Theorem bitsfval 12439

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	|- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 6017	. . . . 5 |- ( n = N -> ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
2	1	breq2d 4094	. . . 4 |- ( n = N -> ( 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
3	2	notbid 671	. . 3 |- ( n = N -> ( -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4	3	rabbidv 2788	. 2 |- ( n = N -> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
5		df-bits 12438	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
6		nn0ex 9363	. . 3 |- NN0 e. _V
7	6	rabex 4227	. 2 |- { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } e. _V
8	4, 5, 7	fvmpt 5704	1 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   / cdiv 8807   2c2 9149   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   |_cfl 10475   ^cexp 10747   || cdvds 12284  bitscbits 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-i2m1 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-ov 5997  df-inn 9099  df-n0 9358  df-bits 12438

This theorem is referenced by:  bitsval  12440