Theorem bitsfval 12124

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	|- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 5948	. . . . 5 |- ( n = N -> ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
2	1	breq2d 4046	. . . 4 |- ( n = N -> ( 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
3	2	notbid 668	. . 3 |- ( n = N -> ( -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4	3	rabbidv 2752	. 2 |- ( n = N -> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
5		df-bits 12123	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
6		nn0ex 9272	. . 3 |- NN0 e. _V
7	6	rabex 4178	. 2 |- { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } e. _V
8	4, 5, 7	fvmpt 5641	1 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   / cdiv 8716   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   |_cfl 10375   ^cexp 10647   || cdvds 11969  bitscbits 12122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-i2m1 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-n0 9267  df-bits 12123

This theorem is referenced by:  bitsval  12125