Theorem bitsfval 12493

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	|- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 6036	. . . . 5 |- ( n = N -> ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
2	1	breq2d 4098	. . . 4 |- ( n = N -> ( 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
3	2	notbid 671	. . 3 |- ( n = N -> ( -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4	3	rabbidv 2789	. 2 |- ( n = N -> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
5		df-bits 12492	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
6		nn0ex 9398	. . 3 |- NN0 e. _V
7	6	rabex 4232	. 2 |- { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } e. _V
8	4, 5, 7	fvmpt 5719	1 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   / cdiv 8842   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   |_cfl 10518   ^cexp 10790   || cdvds 12338  bitscbits 12491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134  df-n0 9393  df-bits 12492

This theorem is referenced by:  bitsval  12494