Theorem bitsfval 12502

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	|- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Distinct variable group:   m, N

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 6040	. . . . 5 |- ( n = N -> ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
2	1	breq2d 4100	. . . 4 |- ( n = N -> ( 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
3	2	notbid 673	. . 3 |- ( n = N -> ( -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4	3	rabbidv 2791	. 2 |- ( n = N -> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
5		df-bits 12501	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
6		nn0ex 9407	. . 3 |- NN0 e. _V
7	6	rabex 4234	. 2 |- { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } e. _V
8	4, 5, 7	fvmpt 5723	1 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   / cdiv 8851   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   |_cfl 10527   ^cexp 10799   || cdvds 12347  bitscbits 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-n0 9402  df-bits 12501

This theorem is referenced by:  bitsval  12503