Theorem blcntrps 14312

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blcntrps	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Proof of Theorem blcntrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9679	. . 3 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9683	. . 3 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		xblcntrps 14310	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )
5	3, 4	syl3an3 1284	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   0cc0 7829   RR*cxr 8009   < clt 8010   RR+crp 9671  PsMetcpsmet 13809   ballcbl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-rp 9672  df-psmet 13817  df-bl 13820

This theorem is referenced by:  unirnblps  14319  blssexps  14326