Theorem blcom 12839

Description: Commute the arguments to the ball function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blcom	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> P e. ( A ( ball ` D ) R ) ) )

Proof of Theorem blcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl2 12835	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )
2		elbl3 12837	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( A e. X /\ P e. X ) ) -> ( P e. ( A ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )
3	2	ancom2s 556	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( P e. ( A ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )
4	1, 3	bitr4d 190	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> P e. ( A ( ball ` D ) R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   RR*cxr 7912   < clt 7913   *Metcxmet 12422   ballcbl 12424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1re 7827  ax-addrcl 7830  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-apti 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-map 6596  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-xadd 9681  df-psmet 12429  df-xmet 12430  df-bl 12432

This theorem is referenced by: (None)