Theorem xblpnfps 12567

Description: The infinity ball in an extended metric is the set of all points that are a finite distance from the center. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xblpnfps	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )

Proof of Theorem xblpnfps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7818	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elblps 12559	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
3	1, 2	mp3an3 1304	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
4		psmetcl 12495	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) e. RR* )
5		psmetge0 12500	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> 0 <_ ( P D A ) )
6		ge0nemnf 9607	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P D A ) e. RR* /\ 0 <_ ( P D A ) ) -> ( P D A ) =/= -oo )
7	4, 5, 6	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( P D A ) =/= -oo )
8		nmnfgt 9601	. . . . . . . 8 |- ( ( P D A ) e. RR* -> ( -oo < ( P D A ) <-> ( P D A ) =/= -oo ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( -oo < ( P D A ) <-> ( P D A ) =/= -oo ) )
10	7, 9	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> -oo < ( P D A ) )
11	10	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
12		xrrebnd 9602	. . . . . 6 |- ( ( P D A ) e. RR* -> ( ( P D A ) e. RR <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
13	4, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) e. RR <-> ( -oo < ( P D A ) /\ ( P D A ) < +oo ) ) )
14	11, 13	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( P D A ) e. RR ) )
15	14	3expa 1181	. . 3 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ A e. X ) -> ( ( P D A ) < +oo <-> ( P D A ) e. RR ) )
16	15	pm5.32da 447	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( A e. X /\ ( P D A ) < +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )
17	3, 16	bitrd 187	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) e. RR ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801  PsMetcpsmet 12148   ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-2 8779  df-xadd 9560  df-psmet 12156  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  xblss2ps  12573