Theorem blcom 12784

Description: Commute the arguments to the ball function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blcom	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))

Proof of Theorem blcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl2 12780	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2		elbl3 12782	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
3	2	ancom2s 556	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
4	1, 3	bitr4d 190	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℝ^*cxr 7906   < clt 7907  ∞Metcxmet 12367  ballcbl 12369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1re 7821  ax-addrcl 7824  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-apti 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-map 6592  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-xadd 9675  df-psmet 12374  df-xmet 12375  df-bl 12377

This theorem is referenced by: (None)