ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elbl2 Unicode version

Theorem elbl2 14370
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elbl2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( P D A )  <  R
) )

Proof of Theorem elbl2
StepHypRef Expression
1 elbl 14368 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
213expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
32an32s 568 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
43adantrr 479 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
5 simprr 531 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
65biantrurd 305 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( P D A )  <  R  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  <  R ) ) )
74, 6bitr4d 191 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( P D A )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   RR*cxr 8022    < clt 8023   *Metcxmet 13866   ballcbl 13868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876
This theorem is referenced by:  elbl3  14372  blcom  14374  blsscls2  14470  metcnp  14489  limcimolemlt  14610
  Copyright terms: Public domain W3C validator