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Theorem brprcneu 5503
Description: If  A is a proper class and  F is any class, then there is no unique set which is related to  A through the binary relation  F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtruex 4554 . . . . . . . . 9  |-  E. y  -.  y  =  x
2 equcom 1706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
32notbii 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  y  <->  -.  y  =  x )
43exbii 1605 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  E. y  -.  y  =  x )
51, 4mpbir 146 . . . . . . . 8  |-  E. y  -.  x  =  y
65jctr 315 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  F  ->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y
) )
7 19.42v 1906 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y )  <->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y ) )
86, 7sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  ->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) )
9 opprc1 3798 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
109eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
11 opprc1 3798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
1211eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
1310, 12anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  ( (/)  e.  F  /\  (/)  e.  F ) ) )
14 anidm 396 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  F  /\  (/) 
e.  F )  <->  (/)  e.  F
)
1513, 14bitrdi 196 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  (/)  e.  F ) )
1615anbi1d 465 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  (
(/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1716exbidv 1825 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1810, 17imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
)  <->  ( (/)  e.  F  ->  E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y ) ) ) )
198, 18mpbiri 168 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
) )
20 df-br 4001 . . . . 5  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
21 df-br 4001 . . . . . . . 8  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
2220, 21anbi12i 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A F x  /\  A F y )  <->  ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y
>.  e.  F ) )
2322anbi1i 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2423exbii 1605 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2519, 20, 243imtr4g 205 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F x  ->  E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
2625eximdv 1880 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
27 exanaliim 1647 . . . . . 6  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  ->  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
2827eximi 1600 . . . . 5  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
29 exnalim 1646 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )  ->  -.  A. x A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3028, 29syl 14 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  A. x A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
31 breq2 4004 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A F x  <->  A F
y ) )
3231mo4 2087 . . . . 5  |-  ( E* x  A F x  <->  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3332notbii 668 . . . 4  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
3430, 33sylibr 134 . . 3  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  E* x  A F x )
3526, 34syl6 33 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
36 eu5 2073 . . . 4  |-  ( E! x  A F x  <-> 
( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3736notbii 668 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
38 imnan 690 . . 3  |-  ( ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x )  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3937, 38bitr4i 187 . 2  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
4035, 39sylibr 134 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1351   E.wex 1492   E!weu 2026   E*wmo 2027    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   <.cop 3594   class class class wbr 4000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001
This theorem is referenced by:  fvprc  5504
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