Theorem brprcneu 5547

Description: If A is a proper class and F is any class, then there is no unique set which is related to A through the binary relation F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
brprcneu	|- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem brprcneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtruex 4591	. . . . . . . . 9 |- E. y -. y = x
2		equcom 1717	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
3	2	notbii 669	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = y <-> -. y = x )
4	3	exbii 1616	. . . . . . . . 9 |- ( E. y -. x = y <-> E. y -. y = x )
5	1, 4	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- E. y -. x = y
6	5	jctr 315	. . . . . . 7 |- ( (/) e. F -> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
7		19.42v 1918	. . . . . . 7 |- ( E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) )
9		opprc1 3826	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> <. A , x >. = (/) )
10	9	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F <-> (/) e. F ) )
11		opprc1 3826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
12	11	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. F <-> (/) e. F ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( (/) e. F /\ (/) e. F ) ) )
14		anidm 396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. F /\ (/) e. F ) <-> (/) e. F )
15	13, 14	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> (/) e. F ) )
16	15	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
17	16	exbidv 1836	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
18	10, 17	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) <-> ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) ) )
19	8, 18	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) )
20		df-br 4030	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
21		df-br 4030	. . . . . . . 8 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
22	20, 21	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( A F x /\ A F y ) <-> ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) )
23	22	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
24	23	exbii 1616	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
25	19, 20, 24	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( A F x -> E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
26	25	eximdv 1891	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
27		exanaliim 1658	. . . . . 6 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
28	27	eximi 1611	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
29		exnalim 1657	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
30	28, 29	syl 14	. . . 4 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
31		breq2 4033	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A F x <-> A F y ) )
32	31	mo4 2103	. . . . 5 |- ( E* x A F x <-> A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
33	32	notbii 669	. . . 4 |- ( -. E* x A F x <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
34	30, 33	sylibr 134	. . 3 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. E* x A F x )
35	26, 34	syl6 33	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
36		eu5 2089	. . . 4 |- ( E! x A F x <-> ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
37	36	notbii 669	. . 3 |- ( -. E! x A F x <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
38		imnan 691	. . 3 |- ( ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
39	37, 38	bitr4i 187	. 2 |- ( -. E! x A F x <-> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
40	35, 39	sylibr 134	1 |- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   E!weu 2042   E*wmo 2043   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   <.cop 3621   class class class wbr 4029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030

This theorem is referenced by:  fvprc  5548