Theorem brprcneu 5368

Description: If A is a proper class and F is any class, then there is no unique set which is related to A through the binary relation F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
brprcneu	|- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem brprcneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtruex 4434	. . . . . . . . 9 |- E. y -. y = x
2		equcom 1665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
3	2	notbii 640	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = y <-> -. y = x )
4	3	exbii 1567	. . . . . . . . 9 |- ( E. y -. x = y <-> E. y -. y = x )
5	1, 4	mpbir 145	. . . . . . . 8 |- E. y -. x = y
6	5	jctr 311	. . . . . . 7 |- ( (/) e. F -> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
7		19.42v 1860	. . . . . . 7 |- ( E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
8	6, 7	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) )
9		opprc1 3693	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> <. A , x >. = (/) )
10	9	eleq1d 2183	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F <-> (/) e. F ) )
11		opprc1 3693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
12	11	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. F <-> (/) e. F ) )
13	10, 12	anbi12d 462	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( (/) e. F /\ (/) e. F ) ) )
14		anidm 391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. F /\ (/) e. F ) <-> (/) e. F )
15	13, 14	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> (/) e. F ) )
16	15	anbi1d 458	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
17	16	exbidv 1779	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
18	10, 17	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) <-> ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) ) )
19	8, 18	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) )
20		df-br 3896	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
21		df-br 3896	. . . . . . . 8 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
22	20, 21	anbi12i 453	. . . . . . 7 |- ( ( A F x /\ A F y ) <-> ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) )
23	22	anbi1i 451	. . . . . 6 |- ( ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
24	23	exbii 1567	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
25	19, 20, 24	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( A F x -> E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
26	25	eximdv 1834	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
27		exanaliim 1609	. . . . . 6 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
28	27	eximi 1562	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
29		exnalim 1608	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
30	28, 29	syl 14	. . . 4 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
31		breq2 3899	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A F x <-> A F y ) )
32	31	mo4 2036	. . . . 5 |- ( E* x A F x <-> A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
33	32	notbii 640	. . . 4 |- ( -. E* x A F x <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
34	30, 33	sylibr 133	. . 3 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. E* x A F x )
35	26, 34	syl6 33	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
36		eu5 2022	. . . 4 |- ( E! x A F x <-> ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
37	36	notbii 640	. . 3 |- ( -. E! x A F x <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
38		imnan 662	. . 3 |- ( ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
39	37, 38	bitr4i 186	. 2 |- ( -. E! x A F x <-> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
40	35, 39	sylibr 133	1 |- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1312   E.wex 1451   e. wcel 1463   E!weu 1975   E*wmo 1976   _Vcvv 2657   (/)c0 3329   <.cop 3496   class class class wbr 3895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896

This theorem is referenced by:  fvprc  5369