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Theorem brprcneu 5368
Description: If  A is a proper class and  F is any class, then there is no unique set which is related to  A through the binary relation  F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtruex 4434 . . . . . . . . 9  |-  E. y  -.  y  =  x
2 equcom 1665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
32notbii 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  y  <->  -.  y  =  x )
43exbii 1567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  E. y  -.  y  =  x )
51, 4mpbir 145 . . . . . . . 8  |-  E. y  -.  x  =  y
65jctr 311 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  F  ->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y
) )
7 19.42v 1860 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y )  <->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y ) )
86, 7sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  ->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) )
9 opprc1 3693 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
109eleq1d 2183 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
11 opprc1 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
1211eleq1d 2183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
1310, 12anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  ( (/)  e.  F  /\  (/)  e.  F ) ) )
14 anidm 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  F  /\  (/) 
e.  F )  <->  (/)  e.  F
)
1513, 14syl6bb 195 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  (/)  e.  F ) )
1615anbi1d 458 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  (
(/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1716exbidv 1779 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1810, 17imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
)  <->  ( (/)  e.  F  ->  E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y ) ) ) )
198, 18mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
) )
20 df-br 3896 . . . . 5  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
21 df-br 3896 . . . . . . . 8  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
2220, 21anbi12i 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A F x  /\  A F y )  <->  ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y
>.  e.  F ) )
2322anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2423exbii 1567 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2519, 20, 243imtr4g 204 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F x  ->  E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
2625eximdv 1834 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
27 exanaliim 1609 . . . . . 6  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  ->  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
2827eximi 1562 . . . . 5  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
29 exnalim 1608 . . . . 5  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )  ->  -.  A. x A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3028, 29syl 14 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  A. x A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
31 breq2 3899 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A F x  <->  A F
y ) )
3231mo4 2036 . . . . 5  |-  ( E* x  A F x  <->  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3332notbii 640 . . . 4  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
3430, 33sylibr 133 . . 3  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  E* x  A F x )
3526, 34syl6 33 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
36 eu5 2022 . . . 4  |-  ( E! x  A F x  <-> 
( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3736notbii 640 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
38 imnan 662 . . 3  |-  ( ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x )  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3937, 38bitr4i 186 . 2  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
4035, 39sylibr 133 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312   E.wex 1451    e. wcel 1463   E!weu 1975   E*wmo 1976   _Vcvv 2657   (/)c0 3329   <.cop 3496   class class class wbr 3895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896
This theorem is referenced by:  fvprc  5369
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