Theorem brprcneu 5489

Description: If A is a proper class and F is any class, then there is no unique set which is related to A through the binary relation F. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
brprcneu	|- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem brprcneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtruex 4543	. . . . . . . . 9 |- E. y -. y = x
2		equcom 1699	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
3	2	notbii 663	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = y <-> -. y = x )
4	3	exbii 1598	. . . . . . . . 9 |- ( E. y -. x = y <-> E. y -. y = x )
5	1, 4	mpbir 145	. . . . . . . 8 |- E. y -. x = y
6	5	jctr 313	. . . . . . 7 |- ( (/) e. F -> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
7		19.42v 1899	. . . . . . 7 |- ( E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ E. y -. x = y ) )
8	6, 7	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) )
9		opprc1 3787	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> <. A , x >. = (/) )
10	9	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F <-> (/) e. F ) )
11		opprc1 3787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. _V -> <. A , y >. = (/) )
12	11	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , y >. e. F <-> (/) e. F ) )
13	10, 12	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( (/) e. F /\ (/) e. F ) ) )
14		anidm 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. F /\ (/) e. F ) <-> (/) e. F )
15	13, 14	bitrdi 195	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) <-> (/) e. F ) )
16	15	anbi1d 462	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> ( ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
17	16	exbidv 1818	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) )
18	10, 17	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) <-> ( (/) e. F -> E. y ( (/) e. F /\ -. x = y ) ) ) )
19	8, 18	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( <. A , x >. e. F -> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) ) )
20		df-br 3990	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
21		df-br 3990	. . . . . . . 8 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
22	20, 21	anbi12i 457	. . . . . . 7 |- ( ( A F x /\ A F y ) <-> ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) )
23	22	anbi1i 455	. . . . . 6 |- ( ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
24	23	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) <-> E. y ( ( <. A , x >. e. F /\ <. A , y >. e. F ) /\ -. x = y ) )
25	19, 20, 24	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( A F x -> E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
26	25	eximdv 1873	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) ) )
27		exanaliim 1640	. . . . . 6 |- ( E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
28	27	eximi 1593	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
29		exnalim 1639	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
30	28, 29	syl 14	. . . 4 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
31		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A F x <-> A F y ) )
32	31	mo4 2080	. . . . 5 |- ( E* x A F x <-> A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
33	32	notbii 663	. . . 4 |- ( -. E* x A F x <-> -. A. x A. y ( ( A F x /\ A F y ) -> x = y ) )
34	30, 33	sylibr 133	. . 3 |- ( E. x E. y ( ( A F x /\ A F y ) /\ -. x = y ) -> -. E* x A F x )
35	26, 34	syl6 33	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
36		eu5 2066	. . . 4 |- ( E! x A F x <-> ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
37	36	notbii 663	. . 3 |- ( -. E! x A F x <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
38		imnan 685	. . 3 |- ( ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) <-> -. ( E. x A F x /\ E* x A F x ) )
39	37, 38	bitr4i 186	. 2 |- ( -. E! x A F x <-> ( E. x A F x -> -. E* x A F x ) )
40	35, 39	sylibr 133	1 |- ( -. A e. _V -> -. E! x A F x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990

This theorem is referenced by:  fvprc  5490