Theorem caucvgsrlemoffgt1 8018

Description: Lemma for caucvgsr 8021. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   A, a, m   F, a   ph, a, m

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2	1	r19.21bi 2620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A <R ( F ` m ) )
3		ltasrg 7989	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
5	1	caucvgsrlemasr 8009	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. R. )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A e. R. )
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : N. --> R. )
8	7	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( F ` m ) e. R. )
9		1sr 7970	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R e. R. )
11		addcomsrg 7974	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A <R ( F ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) ) )
14	2, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) )
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 8015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( ( F ` m ) +R 1R ) )
18	14, 17	breqtrrd 4116	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( G ` m ) +R A ) )
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 8016	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> R. )
20	19	ffvelcdmda 5782	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( G ` m ) e. R. )
21		addcomsrg 7974	. . . . 5 |- ( ( ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
22	20, 6, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4114	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) )
24		ltasrg 7989	. . . 4 |- ( ( 1R e. R. /\ ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R <R ( G ` m ) )
27	26	ralrimiva 2605	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   [cec 6699   N.cnpi 7491   <N clti 7494   ~Q ceq 7498   *Qcrq 7503   <Q cltq 7504   1Pc1p 7511   +P. cpp 7512   ~R cer 7515   R.cnr 7516   1Rc1r 7518   -1Rcm1r 7519   +R cplr 7520   .R cmr 7521   <R cltr 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-imp 7688  df-iltp 7689  df-enr 7945  df-nr 7946  df-plr 7947  df-mr 7948  df-ltr 7949  df-0r 7950  df-1r 7951  df-m1r 7952

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  8019