Theorem caucvgsrlemoffgt1 7800

Description: Lemma for caucvgsr 7803. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   A, a, m   F, a   ph, a, m

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2	1	r19.21bi 2565	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A <R ( F ` m ) )
3		ltasrg 7771	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
5	1	caucvgsrlemasr 7791	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. R. )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A e. R. )
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : N. --> R. )
8	7	ffvelcdmda 5653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( F ` m ) e. R. )
9		1sr 7752	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R e. R. )
11		addcomsrg 7756	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6046	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A <R ( F ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) ) )
14	2, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) )
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 7797	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( ( F ` m ) +R 1R ) )
18	14, 17	breqtrrd 4033	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( G ` m ) +R A ) )
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 7798	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> R. )
20	19	ffvelcdmda 5653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( G ` m ) e. R. )
21		addcomsrg 7756	. . . . 5 |- ( ( ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
22	20, 6, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4031	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) )
24		ltasrg 7771	. . . 4 |- ( ( 1R e. R. /\ ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R <R ( G ` m ) )
27	26	ralrimiva 2550	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   <.cop 3597   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   [cec 6535   N.cnpi 7273   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   *Qcrq 7285   <Q cltq 7286   1Pc1p 7293   +P. cpp 7294   ~R cer 7297   R.cnr 7298   1Rc1r 7300   -1Rcm1r 7301   +R cplr 7302   .R cmr 7303   <R cltr 7304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-imp 7470  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-mr 7730  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-1r 7733  df-m1r 7734

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7801