ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 Unicode version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7344
Description: Lemma for caucvgsr 7347. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Distinct variable groups:    A, a, m    F, a    ph, a, m
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, m, n, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
21r19.21bi 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  <R  ( F `  m ) )
3 ltasrg 7316 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
43adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  -> 
( f  <R  g  <->  ( h  +R  f ) 
<R  ( h  +R  g
) ) )
51caucvgsrlemasr 7335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
65adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
87ffvelrnda 5434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( F `
 m )  e. 
R. )
9 1sr 7297 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
11 addcomsrg 7301 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
1211adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R. )
)  ->  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A 
<R  ( F `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( ( F `  m )  +R  1R ) ) )
142, 13mpbid 145 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( F `  m )  +R  1R ) )
15 caucvgsr.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( ( F `  m )  +R  1R ) )
1814, 17breqtrrd 3871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( G `  m )  +R  A
) )
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
2019ffvelrnda 5434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( G `
 m )  e. 
R. )
21 addcomsrg 7301 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A
)  =  ( A  +R  ( G `  m ) ) )
2220, 6, 21syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( A  +R  ( G `  m )
) )
2318, 22breqtrd 3869 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( A  +R  ( G `  m )
) )
24 ltasrg 7316 . . . 4  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  ( G `  m )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 1R  <R  ( G `  m )  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2510, 20, 6, 24syl3anc 1174 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( 1R 
<R  ( G `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2623, 25mpbird 165 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  <R  ( G `  m ) )
2726ralrimiva 2446 1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   <.cop 3449   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   [cec 6290   N.cnpi 6831    <N clti 6834    ~Q ceq 6838   *Qcrq 6843    <Q cltq 6844   1Pc1p 6851    +P. cpp 6852    ~R cer 6855   R.cnr 6856   1Rc1r 6858   -1Rcm1r 6859    +R cplr 6860    .R cmr 6861    <R cltr 6862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-imp 7028  df-iltp 7029  df-enr 7272  df-nr 7273  df-plr 7274  df-mr 7275  df-ltr 7276  df-0r 7277  df-1r 7278  df-m1r 7279
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7345
  Copyright terms: Public domain W3C validator