Theorem caucvgsrlemoffgt1 7740

Description: Lemma for caucvgsr 7743. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   A, a, m   F, a   ph, a, m

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2	1	r19.21bi 2554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A <R ( F ` m ) )
3		ltasrg 7711	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
5	1	caucvgsrlemasr 7731	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. R. )
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A e. R. )
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : N. --> R. )
8	7	ffvelrnda 5620	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( F ` m ) e. R. )
9		1sr 7692	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R e. R. )
11		addcomsrg 7696	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
12	11	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6011	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A <R ( F ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) ) )
14	2, 13	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) )
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 7737	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( ( F ` m ) +R 1R ) )
18	14, 17	breqtrrd 4010	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( G ` m ) +R A ) )
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 7738	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> R. )
20	19	ffvelrnda 5620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( G ` m ) e. R. )
21		addcomsrg 7696	. . . . 5 |- ( ( ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
22	20, 6, 21	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4008	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) )
24		ltasrg 7711	. . . 4 |- ( ( 1R e. R. /\ ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
26	23, 25	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R <R ( G ` m ) )
27	26	ralrimiva 2539	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   [cec 6499   N.cnpi 7213   <N clti 7216   ~Q ceq 7220   *Qcrq 7225   <Q cltq 7226   1Pc1p 7233   +P. cpp 7234   ~R cer 7237   R.cnr 7238   1Rc1r 7240   -1Rcm1r 7241   +R cplr 7242   .R cmr 7243   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7741