Theorem caucvgsrlemoffgt1 7986

Description: Lemma for caucvgsr 7989. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   A, a, m   F, a   ph, a, m

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2	1	r19.21bi 2618	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A <R ( F ` m ) )
3		ltasrg 7957	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
5	1	caucvgsrlemasr 7977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. R. )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A e. R. )
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : N. --> R. )
8	7	ffvelcdmda 5770	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( F ` m ) e. R. )
9		1sr 7938	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R e. R. )
11		addcomsrg 7942	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A <R ( F ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) ) )
14	2, 13	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) )
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 7983	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( ( F ` m ) +R 1R ) )
18	14, 17	breqtrrd 4111	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( G ` m ) +R A ) )
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 7984	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> R. )
20	19	ffvelcdmda 5770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( G ` m ) e. R. )
21		addcomsrg 7942	. . . . 5 |- ( ( ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
22	20, 6, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4109	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) )
24		ltasrg 7957	. . . 4 |- ( ( 1R e. R. /\ ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
26	23, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R <R ( G ` m ) )
27	26	ralrimiva 2603	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   <.cop 3669   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   [cec 6678   N.cnpi 7459   <N clti 7462   ~Q ceq 7466   *Qcrq 7471   <Q cltq 7472   1Pc1p 7479   +P. cpp 7480   ~R cer 7483   R.cnr 7484   1Rc1r 7486   -1Rcm1r 7487   +R cplr 7488   .R cmr 7489   <R cltr 7490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-i1p 7654  df-iplp 7655  df-imp 7656  df-iltp 7657  df-enr 7913  df-nr 7914  df-plr 7915  df-mr 7916  df-ltr 7917  df-0r 7918  df-1r 7919  df-m1r 7920

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7987