ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 Unicode version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7795
Description: Lemma for caucvgsr 7798. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Distinct variable groups:    A, a, m    F, a    ph, a, m
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, m, n, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
21r19.21bi 2565 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  <R  ( F `  m ) )
3 ltasrg 7766 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
43adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  -> 
( f  <R  g  <->  ( h  +R  f ) 
<R  ( h  +R  g
) ) )
51caucvgsrlemasr 7786 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
65adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
87ffvelcdmda 5650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( F `
 m )  e. 
R. )
9 1sr 7747 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
11 addcomsrg 7751 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
1211adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R. )
)  ->  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 6041 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A 
<R  ( F `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( ( F `  m )  +R  1R ) ) )
142, 13mpbid 147 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( F `  m )  +R  1R ) )
15 caucvgsr.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( ( F `  m )  +R  1R ) )
1814, 17breqtrrd 4030 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( G `  m )  +R  A
) )
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
2019ffvelcdmda 5650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( G `
 m )  e. 
R. )
21 addcomsrg 7751 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A
)  =  ( A  +R  ( G `  m ) ) )
2220, 6, 21syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( A  +R  ( G `  m )
) )
2318, 22breqtrd 4028 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( A  +R  ( G `  m )
) )
24 ltasrg 7766 . . . 4  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  ( G `  m )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 1R  <R  ( G `  m )  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2510, 20, 6, 24syl3anc 1238 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( 1R 
<R  ( G `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2623, 25mpbird 167 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  <R  ( G `  m ) )
2726ralrimiva 2550 1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   <.cop 3595   class class class wbr 4002    |-> cmpt 4063   -->wf 5211   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   1oc1o 6407   [cec 6530   N.cnpi 7268    <N clti 7271    ~Q ceq 7275   *Qcrq 7280    <Q cltq 7281   1Pc1p 7288    +P. cpp 7289    ~R cer 7292   R.cnr 7293   1Rc1r 7295   -1Rcm1r 7296    +R cplr 7297    .R cmr 7298    <R cltr 7299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-1o 6414  df-2o 6415  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-pli 7301  df-mi 7302  df-lti 7303  df-plpq 7340  df-mpq 7341  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-plqqs 7345  df-mqqs 7346  df-1nqqs 7347  df-rq 7348  df-ltnqqs 7349  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-0nq0 7422  df-plq0 7423  df-mq0 7424  df-inp 7462  df-i1p 7463  df-iplp 7464  df-imp 7465  df-iltp 7466  df-enr 7722  df-nr 7723  df-plr 7724  df-mr 7725  df-ltr 7726  df-0r 7727  df-1r 7728  df-m1r 7729
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7796
  Copyright terms: Public domain W3C validator