ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 Unicode version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7571
Description: Lemma for caucvgsr 7574. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Distinct variable groups:    A, a, m    F, a    ph, a, m
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, m, n, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
21r19.21bi 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  <R  ( F `  m ) )
3 ltasrg 7542 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
43adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  -> 
( f  <R  g  <->  ( h  +R  f ) 
<R  ( h  +R  g
) ) )
51caucvgsrlemasr 7562 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
65adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
87ffvelrnda 5521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( F `
 m )  e. 
R. )
9 1sr 7523 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
11 addcomsrg 7527 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
1211adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R. )
)  ->  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A 
<R  ( F `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( ( F `  m )  +R  1R ) ) )
142, 13mpbid 146 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( F `  m )  +R  1R ) )
15 caucvgsr.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7568 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( ( F `  m )  +R  1R ) )
1814, 17breqtrrd 3924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( G `  m )  +R  A
) )
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
2019ffvelrnda 5521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( G `
 m )  e. 
R. )
21 addcomsrg 7527 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A
)  =  ( A  +R  ( G `  m ) ) )
2220, 6, 21syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( A  +R  ( G `  m )
) )
2318, 22breqtrd 3922 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( A  +R  ( G `  m )
) )
24 ltasrg 7542 . . . 4  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  ( G `  m )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 1R  <R  ( G `  m )  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2510, 20, 6, 24syl3anc 1199 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( 1R 
<R  ( G `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2623, 25mpbird 166 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  <R  ( G `  m ) )
2726ralrimiva 2480 1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   <.cop 3498   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   [cec 6393   N.cnpi 7044    <N clti 7047    ~Q ceq 7051   *Qcrq 7056    <Q cltq 7057   1Pc1p 7064    +P. cpp 7065    ~R cer 7068   R.cnr 7069   1Rc1r 7071   -1Rcm1r 7072    +R cplr 7073    .R cmr 7074    <R cltr 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-imp 7241  df-iltp 7242  df-enr 7498  df-nr 7499  df-plr 7500  df-mr 7501  df-ltr 7502  df-0r 7503  df-1r 7504  df-m1r 7505
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator