Theorem caucvgsrlemoffval 7979

Description: Lemma for caucvgsr 7985. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffval	|- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )

Distinct variable groups:   A, a   A, m   F, a   J, a   ph, a

Allowed substitution hints:   ph( u, k, m, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)   J( u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.offset	. . . . 5 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) ) )
3		fveq2 5626	. . . . . . 7 |- ( a = J -> ( F ` a ) = ( F ` J ) )
4	3	oveq1d 6015	. . . . . 6 |- ( a = J -> ( ( F ` a ) +R 1R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
5	4	oveq1d 6015	. . . . 5 |- ( a = J -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. N. ) /\ a = J ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> J e. N. )
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N. --> R. )
9	8	ffvelcdmda 5769	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( F ` J ) e. R. )
10		1sr 7934	. . . . . 6 |- 1R e. R.
11		addclsr 7936	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` J ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. )
13		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
14	13	caucvgsrlemasr 7973	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. R. )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> A e. R. )
16		m1r 7935	. . . . . 6 |- -1R e. R.
17		mulclsr 7937	. . . . . 6 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
19		addclsr 7936	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
20	12, 18, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
21	2, 6, 7, 20	fvmptd 5714	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( G ` J ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
22	21	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) )
23		addasssrg 7939	. . 3 |- ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) )
24	12, 18, 15, 23	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) )
25		addcomsrg 7938	. . . . . 6 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
26	18, 15, 25	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
27		pn0sr 7954	. . . . . 6 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
28	15, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
29	26, 28	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = 0R )
30	29	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) )
31		0idsr 7950	. . . 4 |- ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
32	12, 31	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
33	30, 32	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
34	22, 24, 33	3eqtrd 2266	1 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   <.cop 3669   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1oc1o 6553   [cec 6676   N.cnpi 7455   <N clti 7458   ~Q ceq 7462   *Qcrq 7467   <Q cltq 7468   1Pc1p 7475   +P. cpp 7476   ~R cer 7479   R.cnr 7480   0Rc0r 7481   1Rc1r 7482   -1Rcm1r 7483   +R cplr 7484   .R cmr 7485   <R cltr 7486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-imp 7652  df-enr 7909  df-nr 7910  df-plr 7911  df-mr 7912  df-ltr 7913  df-0r 7914  df-1r 7915  df-m1r 7916

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7981  caucvgsrlemoffgt1  7982  caucvgsrlemoffres  7983