Theorem caucvgsrlemoffval 8153

Description: Lemma for caucvgsr 8159. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffval	|- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )

Distinct variable groups:   A, a   A, m   F, a   J, a   ph, a

Allowed substitution hints:   ph( u, k, m, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)   J( u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.offset	. . . . 5 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) ) )
3		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( a = J -> ( F ` a ) = ( F ` J ) )
4	3	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( a = J -> ( ( F ` a ) +R 1R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
5	4	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( a = J -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. N. ) /\ a = J ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> J e. N. )
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N. --> R. )
9	8	ffvelcdmda 5834	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( F ` J ) e. R. )
10		1sr 8108	. . . . . 6 |- 1R e. R.
11		addclsr 8110	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` J ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. )
12	9, 10, 11	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. )
13		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
14	13	caucvgsrlemasr 8147	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. R. )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> A e. R. )
16		m1r 8109	. . . . . 6 |- -1R e. R.
17		mulclsr 8111	. . . . . 6 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
18	15, 16, 17	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
19		addclsr 8110	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
20	12, 18, 19	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
21	2, 6, 7, 20	fvmptd 5780	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( G ` J ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
22	21	oveq1d 6090	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) )
23		addasssrg 8113	. . 3 |- ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) )
24	12, 18, 15, 23	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) +R A ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) )
25		addcomsrg 8112	. . . . . 6 |- ( ( ( A .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
26	18, 15, 25	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = ( A +R ( A .R -1R ) ) )
27		pn0sr 8128	. . . . . 6 |- ( A e. R. -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
28	15, 27	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( A +R ( A .R -1R ) ) = 0R )
29	26, 28	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( A .R -1R ) +R A ) = 0R )
30	29	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) = ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) )
31		0idsr 8124	. . . 4 |- ( ( ( F ` J ) +R 1R ) e. R. -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
32	12, 31	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R 0R ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
33	30, 32	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( ( F ` J ) +R 1R ) +R ( ( A .R -1R ) +R A ) ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )
34	22, 24, 33	3eqtrd 2275	1 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( ( G ` J ) +R A ) = ( ( F ` J ) +R 1R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   [cec 6795   N.cnpi 7629   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   *Qcrq 7641   <Q cltq 7642   1Pc1p 7649   +P. cpp 7650   ~R cer 7653   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   1Rc1r 7656   -1Rcm1r 7657   +R cplr 7658   .R cmr 7659   <R cltr 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-ltr 8087  df-0r 8088  df-1r 8089  df-m1r 8090

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  8155  caucvgsrlemoffgt1  8156  caucvgsrlemoffres  8157