Theorem caucvgsrlemofff 8077

Description: Lemma for caucvgsr 8082. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	|- ( ph -> G : N. --> R. )

Distinct variable groups:   A, m   ph, a

Allowed substitution hints:   ph( u, k, m, n, l)   A( u, k, n, a, l)   F( u, k, m, n, a, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( F ` a ) e. R. )
3		1sr 8031	. . . 4 |- 1R e. R.
4		addclsr 8033	. . . 4 |- ( ( ( F ` a ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
7	6	caucvgsrlemasr 8070	. . . . 5 |- ( ph -> A e. R. )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> A e. R. )
9		m1r 8032	. . . 4 |- -1R e. R.
10		mulclsr 8034	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
12		addclsr 8033	. . 3 |- ( ( ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
15	13, 14	fmptd 5809	1 |- ( ph -> G : N. --> R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   <.cop 3676   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   [cec 6743   N.cnpi 7552   <N clti 7555   ~Q ceq 7559   *Qcrq 7564   <Q cltq 7565   1Pc1p 7572   +P. cpp 7573   ~R cer 7576   R.cnr 7577   1Rc1r 7579   -1Rcm1r 7580   +R cplr 7581   .R cmr 7582   <R cltr 7583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-1nqqs 7631  df-rq 7632  df-ltnqqs 7633  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-0nq0 7706  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746  df-i1p 7747  df-iplp 7748  df-imp 7749  df-enr 8006  df-nr 8007  df-plr 8008  df-mr 8009  df-ltr 8010  df-1r 8012  df-m1r 8013

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  8078  caucvgsrlemoffgt1  8079  caucvgsrlemoffres  8080