Theorem caucvgsrlemofff 7759

Description: Lemma for caucvgsr 7764. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	|- ( ph -> G : N. --> R. )

Distinct variable groups:   A, m   ph, a

Allowed substitution hints:   ph( u, k, m, n, l)   A( u, k, n, a, l)   F( u, k, m, n, a, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelrnda 5631	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( F ` a ) e. R. )
3		1sr 7713	. . . 4 |- 1R e. R.
4		addclsr 7715	. . . 4 |- ( ( ( F ` a ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
5	2, 3, 4	sylancl 411	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
7	6	caucvgsrlemasr 7752	. . . . 5 |- ( ph -> A e. R. )
8	7	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> A e. R. )
9		m1r 7714	. . . 4 |- -1R e. R.
10		mulclsr 7716	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
11	8, 9, 10	sylancl 411	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
12		addclsr 7715	. . 3 |- ( ( ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
13	5, 11, 12	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
15	13, 14	fmptd 5650	1 |- ( ph -> G : N. --> R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   [cec 6511   N.cnpi 7234   <N clti 7237   ~Q ceq 7241   *Qcrq 7246   <Q cltq 7247   1Pc1p 7254   +P. cpp 7255   ~R cer 7258   R.cnr 7259   1Rc1r 7261   -1Rcm1r 7262   +R cplr 7263   .R cmr 7264   <R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-1r 7694  df-m1r 7695

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7760  caucvgsrlemoffgt1  7761  caucvgsrlemoffres  7762