ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemofff Unicode version

Theorem caucvgsrlemofff 7612
Description: Lemma for caucvgsr 7617. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemofff  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
Distinct variable groups:    A, m    ph, a
Allowed substitution hints:    ph( u, k, m, n, l)    A( u, k, n, a, l)    F( u, k, m, n, a, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
21ffvelrnda 5555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N. )  ->  ( F `
 a )  e. 
R. )
3 1sr 7566 . . . 4  |-  1R  e.  R.
4 addclsr 7568 . . . 4  |-  ( ( ( F `  a
)  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( ( F `  a )  +R  1R )  e.  R. )
52, 3, 4sylancl 409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N. )  ->  ( ( F `  a )  +R  1R )  e. 
R. )
6 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
76caucvgsrlemasr 7605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
87adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
9 m1r 7567 . . . 4  |-  -1R  e.  R.
10 mulclsr 7569 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
118, 9, 10sylancl 409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N. )  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
12 addclsr 7568 . . 3  |-  ( ( ( ( F `  a )  +R  1R )  e.  R.  /\  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )  ->  (
( ( F `  a )  +R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  e.  R. )
135, 11, 12syl2anc 408 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  a
)  +R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  e.  R. )
14 caucvgsrlembnd.offset . 2  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
1513, 14fmptd 5574 1  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   <.cop 3530   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7087    <N clti 7090    ~Q ceq 7094   *Qcrq 7099    <Q cltq 7100   1Pc1p 7107    +P. cpp 7108    ~R cer 7111   R.cnr 7112   1Rc1r 7114   -1Rcm1r 7115    +R cplr 7116    .R cmr 7117    <R cltr 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-iplp 7283  df-imp 7284  df-enr 7541  df-nr 7542  df-plr 7543  df-mr 7544  df-ltr 7545  df-1r 7547  df-m1r 7548
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7613  caucvgsrlemoffgt1  7614  caucvgsrlemoffres  7615
  Copyright terms: Public domain W3C validator