Theorem caucvgsrlemofff 7396

Description: Lemma for caucvgsr 7401. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	|- ( ph -> G : N. --> R. )

Distinct variable groups:   A, m   ph, a

Allowed substitution hints:   ph( u, k, m, n, l)   A( u, k, n, a, l)   F( u, k, m, n, a, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelrnda 5448	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( F ` a ) e. R. )
3		1sr 7351	. . . 4 |- 1R e. R.
4		addclsr 7353	. . . 4 |- ( ( ( F ` a ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
5	2, 3, 4	sylancl 405	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. )
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
7	6	caucvgsrlemasr 7389	. . . . 5 |- ( ph -> A e. R. )
8	7	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> A e. R. )
9		m1r 7352	. . . 4 |- -1R e. R.
10		mulclsr 7354	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
11	8, 9, 10	sylancl 405	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( A .R -1R ) e. R. )
12		addclsr 7353	. . 3 |- ( ( ( ( F ` a ) +R 1R ) e. R. /\ ( A .R -1R ) e. R. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
13	5, 11, 12	syl2anc 404	. 2 |- ( ( ph /\ a e. N. ) -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) e. R. )
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
15	13, 14	fmptd 5466	1 |- ( ph -> G : N. --> R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   {cab 2075   A.wral 2360   <.cop 3453   class class class wbr 3851   |-> cmpt 3905   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1oc1o 6188   [cec 6304   N.cnpi 6885   <N clti 6888   ~Q ceq 6892   *Qcrq 6897   <Q cltq 6898   1Pc1p 6905   +P. cpp 6906   ~R cer 6909   R.cnr 6910   1Rc1r 6912   -1Rcm1r 6913   +R cplr 6914   .R cmr 6915   <R cltr 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-rq 6965  df-ltnqqs 6966  df-enq0 7037  df-nq0 7038  df-0nq0 7039  df-plq0 7040  df-mq0 7041  df-inp 7079  df-i1p 7080  df-iplp 7081  df-imp 7082  df-enr 7326  df-nr 7327  df-plr 7328  df-mr 7329  df-ltr 7330  df-1r 7332  df-m1r 7333

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7397  caucvgsrlemoffgt1  7398  caucvgsrlemoffres  7399