Theorem caucvgsrlemasr 8121

Description: Lemma for caucvgsr 8133. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2		ltrelsr 8069	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → (𝐴 ∈ R ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ R))
4	3	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → 𝐴 ∈ R)
5	4	ralimi 2607	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
7		1pi 7646	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
8		elex2 2832	. . 3 ⊢ (1o ∈ N → ∃𝑥 𝑥 ∈ N)
9		r19.3rmv 3604	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ N → (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
11	6, 10	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  1_oc1o 6653  Ncnpi 7603  Rcnr 7628   <_R cltr 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-1o 6660  df-ni 7635  df-ltr 8061

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  8127  caucvgsrlemofff  8128  caucvgsrlemoffcau  8129  caucvgsrlemoffgt1  8130  caucvgsrlemoffres  8131