ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr GIF version

Theorem caucvgsrlemasr 7333
Description: Lemma for caucvgsr 7345. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr (𝜑𝐴R)
Distinct variable group:   𝐴,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
2 ltrelsr 7282 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
32brel 4490 . . . . 5 (𝐴 <R (𝐹𝑚) → (𝐴R ∧ (𝐹𝑚) ∈ R))
43simpld 110 . . . 4 (𝐴 <R (𝐹𝑚) → 𝐴R)
54ralimi 2438 . . 3 (∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚) → ∀𝑚N 𝐴R)
61, 5syl 14 . 2 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴R)
7 1pi 6872 . . 3 1𝑜N
8 elex2 2635 . . 3 (1𝑜N → ∃𝑥 𝑥N)
9 r19.3rmv 3372 . . 3 (∃𝑥 𝑥N → (𝐴R ↔ ∀𝑚N 𝐴R))
107, 8, 9mp2b 8 . 2 (𝐴R ↔ ∀𝑚N 𝐴R)
116, 10sylibr 132 1 (𝜑𝐴R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wex 1426  wcel 1438  wral 2359   class class class wbr 3845  cfv 5015  1𝑜c1o 6174  Ncnpi 6829  Rcnr 6854   <R cltr 6860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-1o 6181  df-ni 6861  df-ltr 7274
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7339  caucvgsrlemofff  7340  caucvgsrlemoffcau  7341  caucvgsrlemoffgt1  7342  caucvgsrlemoffres  7343
  Copyright terms: Public domain W3C validator