Theorem caucvgsrlemasr 7752

Description: Lemma for caucvgsr 7764. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2		ltrelsr 7700	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4663	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → (𝐴 ∈ R ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ R))
4	3	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → 𝐴 ∈ R)
5	4	ralimi 2533	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
7		1pi 7277	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
8		elex2 2746	. . 3 ⊢ (1o ∈ N → ∃𝑥 𝑥 ∈ N)
9		r19.3rmv 3505	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ N → (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
11	6, 10	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388  Ncnpi 7234  Rcnr 7259   <_R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-1o 6395  df-ni 7266  df-ltr 7692

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7758  caucvgsrlemofff  7759  caucvgsrlemoffcau  7760  caucvgsrlemoffgt1  7761  caucvgsrlemoffres  7762