Theorem caucvgsrlemasr 7902

Description: Lemma for caucvgsr 7914. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2		ltrelsr 7850	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4726	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → (𝐴 ∈ R ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ R))
4	3	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → 𝐴 ∈ R)
5	4	ralimi 2568	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
7		1pi 7427	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
8		elex2 2787	. . 3 ⊢ (1o ∈ N → ∃𝑥 𝑥 ∈ N)
9		r19.3rmv 3550	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ N → (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
11	6, 10	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  1_oc1o 6494  Ncnpi 7384  Rcnr 7409   <_R cltr 7415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-1o 6501  df-ni 7416  df-ltr 7842

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7908  caucvgsrlemofff  7909  caucvgsrlemoffcau  7910  caucvgsrlemoffgt1  7911  caucvgsrlemoffres  7912