Theorem caucvgsrlemasr 7802

Description: Lemma for caucvgsr 7814. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2		ltrelsr 7750	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
3	2	brel 4690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → (𝐴 ∈ R ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ R))
4	3	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → 𝐴 ∈ R)
5	4	ralimi 2550	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚) → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
7		1pi 7327	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
8		elex2 2765	. . 3 ⊢ (1o ∈ N → ∃𝑥 𝑥 ∈ N)
9		r19.3rmv 3525	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ N → (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R ↔ ∀𝑚 ∈ N 𝐴 ∈ R)
11	6, 10	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  1_oc1o 6423  Ncnpi 7284  Rcnr 7309   <_R cltr 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-1o 6430  df-ni 7316  df-ltr 7742

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7808  caucvgsrlemofff  7809  caucvgsrlemoffcau  7810  caucvgsrlemoffgt1  7811  caucvgsrlemoffres  7812