Theorem caucvgsrlemoffres 7632

Description: Lemma for caucvgsr 7634. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, k   x, A, j, k   A, m, k   y, A, j, k, x   F, a, k   y, F   x, G, j, k   G, l, u, j, k   m, G, n, k   n, l, u   n, a, ph, k   ph, x, j   ph, m, n, a

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)   A( u, n, l)   F( x, u, j, m, n, l)   G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables i f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7629	. . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7630	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7631	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7627	. 2 |- ( ph -> E. z e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) )
9		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> z e. R. )
10	3	caucvgsrlemasr 7622	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. R. )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A e. R. )
12		addclsr 7585	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ A e. R. ) -> ( z +R A ) e. R. )
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( z +R A ) e. R. )
14		m1r 7584	. . . 4 |- -1R e. R.
15		addclsr 7585	. . . 4 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
16	13, 14, 15	sylancl 410	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
17		ltasrg 7602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
19	5	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> G : N. --> R. )
20		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> i e. N. )
21	19, 20	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( G ` i ) e. R. )
22		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> z e. R. )
23		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> x e. R. )
24		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( z +R x ) e. R. )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R x ) e. R. )
26	10	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> A e. R. )
27		addcomsrg 7587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
31	30	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
32	31	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
33	32	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
34	29, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
35		addasssrg 7588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R x ) +R A ) = ( ( z +R A ) +R x ) )
38	37	breq2d 3949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) ) )
39	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> F : N. --> R. )
40	39	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( F ` i ) e. R. )
41		1sr 7583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1R e. R.
42		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
43	40, 41, 42	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
44	22, 26, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R A ) e. R. )
45		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
46	44, 23, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> -1R e. R. )
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) ) )
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> 1R e. R. )
50		addasssrg 7588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
52		addcomsrg 7587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R ) )
53	41, 14, 52	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R )
54		m1p1sr 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
55	53, 54	eqtri 2161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1R +R -1R ) = 0R
56	55	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( F ` i ) +R 0R )
57		0idsr 7599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` i ) e. R. -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
59	56, 58	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( F ` i ) )
60	51, 59	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( F ` i ) )
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 5959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
62	60, 61	breq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
63	48, 62	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
64	34, 38, 63	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
65	64	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) -> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
66		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
67	21, 23, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) ) )
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 5959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) )
70	32	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
71	69, 70	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
72	71	breq2d 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
73	68, 72	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
74		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
75	43, 23, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) ) )
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) )
78	77	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) )
79		addclsr 7585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
80	40, 23, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
81		addasssrg 7588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
84	55	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R )
85	83, 84	eqtrdi 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) )
86		0idsr 7599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
88	85, 87	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
89	88	breq2d 3949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
90	73, 76, 89	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
91	90	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
92	65, 91	anim12d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) )
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
94	93	ralimdva 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
95		breq2 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( j <N i <-> j <N k ) )
96		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
97	96	breq1d 3947	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
98	96	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) +R x ) = ( ( F ` k ) +R x ) )
99	98	breq2d 3949	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
100	97, 99	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
101	95, 100	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
102	101	cbvralv 2657	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
103	94, 102	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
104	103	reximdv 2536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
105	104	imim2d 54	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2502	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. R. ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
107	106	impr 377	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
108		oveq1 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y +R x ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
109	108	breq2d 3949	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
110		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y <R ( ( F ` k ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
111	109, 110	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
112	111	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
113	112	rexralbidv 2464	. . . . . 6 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
114	113	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
115	114	ralbidv 2438	. . . 4 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
116	115	rspcev 2793	. . 3 |- ( ( ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
117	16, 107, 116	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
118	8, 117	rexlimddv 2557	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   <.cop 3535   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1oc1o 6314   [cec 6435   N.cnpi 7104   <N clti 7107   ~Q ceq 7111   *Qcrq 7116   <Q cltq 7117   1Pc1p 7124   +P. cpp 7125   ~R cer 7128   R.cnr 7129   0Rc0r 7130   1Rc1r 7131   -1Rcm1r 7132   +R cplr 7133   .R cmr 7134   <R cltr 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-imp 7301  df-iltp 7302  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-mr 7561  df-ltr 7562  df-0r 7563  df-1r 7564  df-m1r 7565

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7633