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Theorem caucvgsrlemoffres 7615
Description: Lemma for caucvgsr 7617. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a, k   
x, A, j, k    A, m, k    y, A, j, k, x    F, a, k    y, F    x, G, j, k    G, l, u, j, k    m, G, n, k    n, l, u    n, a, ph, k    ph, x, j    ph, m, n, a
Allowed substitution hints:    ph( y, u, l)    A( u, n, l)    F( x, u, j, m, n, l)    G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres
Dummy variables  i  f  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
2 caucvgsr.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
3 caucvgsrlembnd.bnd . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
4 caucvgsrlembnd.offset . . . 4  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
51, 2, 3, 4caucvgsrlemofff 7612 . . 3  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4caucvgsrlemoffcau 7613 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( G `  n
)  <R  ( ( G `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( G `  k )  <R  (
( G `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
71, 2, 3, 4caucvgsrlemoffgt1 7614 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
85, 6, 7caucvgsrlemgt1 7610 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( G `  i )  <R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) ) ) )
9 simprl 520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  z  e.  R. )
103caucvgsrlemasr 7605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
1110adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  A  e.  R. )
12 addclsr 7568 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( z  +R  A
)  e.  R. )
139, 11, 12syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  (
z  +R  A )  e.  R. )
14 m1r 7567 . . . 4  |-  -1R  e.  R.
15 addclsr 7568 . . . 4  |-  ( ( ( z  +R  A
)  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  e.  R. )
1613, 14, 15sylancl 409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  e.  R. )
17 ltasrg 7585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
1817adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
195ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  G : N. --> R. )
20 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  i  e.  N. )
2119, 20ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( G `  i )  e.  R. )
22 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  z  e.  R. )
23 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  x  e.  R. )
24 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( z  +R  x
)  e.  R. )
2522, 23, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  +R  x )  e.  R. )
2610ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  A  e.  R. )
27 addcomsrg 7570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
2827adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R. ) )  ->  (
f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
2918, 21, 25, 26, 28caovord2d 5940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( ( G `
 i )  +R  A )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
301, 2, 3, 4caucvgsrlemoffval 7611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `  i )  +R  A )  =  ( ( F `  i )  +R  1R ) )
3130adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  (
( G `  i
)  +R  A )  =  ( ( F `
 i )  +R 
1R ) )
3231adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  +R  A )  =  ( ( F `  i
)  +R  1R )
)
3332breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  A )  <R 
( ( z  +R  x )  +R  A
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
3429, 33bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
35 addasssrg 7571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
3635adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
3722, 23, 26, 28, 36caov32d 5951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  x )  +R  A )  =  ( ( z  +R  A
)  +R  x ) )
3837breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  x )  +R  A
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  A
)  +R  x ) ) )
391ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  F : N. --> R. )
4039ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( F `  i )  e.  R. )
41 1sr 7566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1R  e.  R.
42 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( ( F `  i )  +R  1R )  e.  R. )
4340, 41, 42sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  e.  R. )
4422, 26, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  +R  A )  e.  R. )
45 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +R  A
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( z  +R  A )  +R  x
)  e.  R. )
4644, 23, 45syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  +R  x )  e.  R. )
4714a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  -1R  e.  R. )
4818, 43, 46, 47, 28caovord2d 5940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  A )  +R  x
)  <->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  x
)  +R  -1R )
) )
4941a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
50 addasssrg 7571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  ->  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  -1R )  =  ( ( F `  i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
5140, 49, 47, 50syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( ( F `  i
)  +R  ( 1R 
+R  -1R ) ) )
52 addcomsrg 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( 1R  +R  -1R )  =  ( -1R  +R 
1R ) )
5341, 14, 52mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  1R )
54 m1p1sr 7575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
5553, 54eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1R 
+R  -1R )  =  0R
5655oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( ( F `  i
)  +R  0R )
57 0idsr 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  i )  e.  R.  ->  (
( F `  i
)  +R  0R )  =  ( F `  i ) )
5840, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  0R )  =  ( F `  i ) )
5956, 58syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( F `  i ) )
6051, 59eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( F `  i ) )
6144, 23, 47, 28, 36caov32d 5951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( z  +R  A )  +R  x )  +R 
-1R )  =  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) )
6260, 61breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  -1R )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  x
)  +R  -1R )  <->  ( F `  i ) 
<R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
) ) )
6348, 62bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  A )  +R  x
)  <->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
6434, 38, 633bitrd 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
6564biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  ->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
66 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  i
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( G `  i )  +R  x
)  e.  R. )
6721, 23, 66syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  +R  x )  e.  R. )
6818, 22, 67, 26, 28caovord2d 5940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( G `  i )  +R  x
)  +R  A ) ) )
6921, 23, 26, 28, 36caov32d 5951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  x )  +R  A )  =  ( ( ( G `  i )  +R  A
)  +R  x ) )
7032oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  A )  +R  x )  =  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) )
7169, 70eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  x )  +R  A )  =  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) )
7271breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  <R 
( ( ( G `
 i )  +R  x )  +R  A
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) ) )
7368, 72bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) ) )
74 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  i )  +R  1R )  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  e. 
R. )
7543, 23, 74syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  e.  R. )
7618, 44, 75, 47, 28caovord2d 5940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  <R 
( ( ( F `
 i )  +R 
1R )  +R  x
)  <->  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  <R  (
( ( ( F `
 i )  +R 
1R )  +R  x
)  +R  -1R )
) )
7740, 49, 23, 28, 36caov32d 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  1R )
)
7877oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( ( F `  i )  +R  x
)  +R  1R )  +R  -1R ) )
79 addclsr 7568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( F `  i )  +R  x
)  e.  R. )
8040, 23, 79syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  x )  e.  R. )
81 addasssrg 7571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  i )  +R  x
)  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  ->  (
( ( ( F `
 i )  +R  x )  +R  1R )  +R  -1R )  =  ( ( ( F `
 i )  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
8280, 49, 47, 81syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  x )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  ( 1R 
+R  -1R ) ) )
8378, 82eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( F `  i
)  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
8455oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  0R )
8583, 84syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( F `  i
)  +R  x )  +R  0R ) )
86 0idsr 7582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  +R  x )  e.  R.  ->  (
( ( F `  i )  +R  x
)  +R  0R )  =  ( ( F `
 i )  +R  x ) )
8780, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  x )  +R  0R )  =  ( ( F `  i
)  +R  x ) )
8885, 87eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( ( F `  i )  +R  x ) )
8988breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R ) 
<->  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) ) )
9073, 76, 893bitrd 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  <R  (
( F `  i
)  +R  x ) ) )
9190biimpd 143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  ->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) )
9265, 91anim12d 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i ) 
<R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) )  ->  ( ( F `  i )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
9392imim2d 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( j 
<N  i  ->  ( ( G `  i ) 
<R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
9493ralimdva 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( A. i  e.  N.  ( j  <N  i  ->  ( ( G `  i )  <R  (
z  +R  x )  /\  z  <R  (
( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  A. i  e.  N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
95 breq2 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
j  <N  i  <->  j  <N  k ) )
96 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
9796breq1d 3939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  <->  ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
9896oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  +R  x )  =  ( ( F `
 k )  +R  x ) )
9998breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x )  <->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) )
10097, 99anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) )  <->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
10195, 100imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( j  <N  i  ->  ( ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) ) )  <-> 
( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 k )  +R  x ) ) ) ) )
102101cbvralv 2654 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
10394, 102syl6ib 160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( A. i  e.  N.  ( j  <N  i  ->  ( ( G `  i )  <R  (
z  +R  x )  /\  z  <R  (
( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
104103reximdv 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) )  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
105104imim2d 54 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  (
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
106105ralimdva 2499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  R. )  ->  ( A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( G `  i )  <R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
107106impr 376 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
108 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
y  +R  x )  =  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) )
109108breq2d 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  <->  ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
110 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
y  <R  ( ( F `
 k )  +R  x )  <->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) )
111109, 110anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( ( F `  k )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  k
)  +R  x ) )  <->  ( ( F `
 k )  <R 
( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
112111imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  k
)  +R  x ) ) )  <->  ( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
113112rexralbidv 2461 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  ( E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
114113imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
115114ralbidv 2437 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  ( A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
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) ) ) ) ) )
116115rspcev 2789 . . 3  |-  ( ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
11716, 107, 116syl2anc 408 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
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1188, 117rexlimddv 2554 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7087    <N clti 7090    ~Q ceq 7094   *Qcrq 7099    <Q cltq 7100   1Pc1p 7107    +P. cpp 7108    ~R cer 7111   R.cnr 7112   0Rc0r 7113   1Rc1r 7114   -1Rcm1r 7115    +R cplr 7116    .R cmr 7117    <R cltr 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-iplp 7283  df-imp 7284  df-iltp 7285  df-enr 7541  df-nr 7542  df-plr 7543  df-mr 7544  df-ltr 7545  df-0r 7546  df-1r 7547  df-m1r 7548
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