Theorem caucvgsrlemoffres 7608

Description: Lemma for caucvgsr 7610. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, k   x, A, j, k   A, m, k   y, A, j, k, x   F, a, k   y, F   x, G, j, k   G, l, u, j, k   m, G, n, k   n, l, u   n, a, ph, k   ph, x, j   ph, m, n, a

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)   A( u, n, l)   F( x, u, j, m, n, l)   G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables i f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7605	. . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7606	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7607	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7603	. 2 |- ( ph -> E. z e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) )
9		simprl 520	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> z e. R. )
10	3	caucvgsrlemasr 7598	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. R. )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A e. R. )
12		addclsr 7561	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ A e. R. ) -> ( z +R A ) e. R. )
13	9, 11, 12	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( z +R A ) e. R. )
14		m1r 7560	. . . 4 |- -1R e. R.
15		addclsr 7561	. . . 4 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
16	13, 14, 15	sylancl 409	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
17		ltasrg 7578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
19	5	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> G : N. --> R. )
20		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> i e. N. )
21	19, 20	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( G ` i ) e. R. )
22		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> z e. R. )
23		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> x e. R. )
24		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( z +R x ) e. R. )
25	22, 23, 24	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R x ) e. R. )
26	10	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> A e. R. )
27		addcomsrg 7563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
31	30	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
32	31	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
33	32	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
34	29, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
35		addasssrg 7564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 5951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R x ) +R A ) = ( ( z +R A ) +R x ) )
38	37	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) ) )
39	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> F : N. --> R. )
40	39	ffvelrnda 5555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( F ` i ) e. R. )
41		1sr 7559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1R e. R.
42		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
43	40, 41, 42	sylancl 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
44	22, 26, 12	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R A ) e. R. )
45		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
46	44, 23, 45	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> -1R e. R. )
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) ) )
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> 1R e. R. )
50		addasssrg 7564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
52		addcomsrg 7563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R ) )
53	41, 14, 52	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R )
54		m1p1sr 7568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
55	53, 54	eqtri 2160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1R +R -1R ) = 0R
56	55	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( F ` i ) +R 0R )
57		0idsr 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` i ) e. R. -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
59	56, 58	syl5eq 2184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( F ` i ) )
60	51, 59	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( F ` i ) )
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 5951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
62	60, 61	breq12d 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
63	48, 62	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
64	34, 38, 63	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
65	64	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) -> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
66		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
67	21, 23, 66	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) ) )
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) )
70	32	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
71	69, 70	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
72	71	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
73	68, 72	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
74		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
75	43, 23, 74	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) ) )
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) )
78	77	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) )
79		addclsr 7561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
80	40, 23, 79	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
81		addasssrg 7564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
84	55	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R )
85	83, 84	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) )
86		0idsr 7575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
88	85, 87	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
89	88	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
90	73, 76, 89	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
91	90	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
92	65, 91	anim12d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) )
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
94	93	ralimdva 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
95		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( j <N i <-> j <N k ) )
96		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
97	96	breq1d 3939	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
98	96	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) +R x ) = ( ( F ` k ) +R x ) )
99	98	breq2d 3941	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
100	97, 99	anbi12d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
101	95, 100	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
102	101	cbvralv 2654	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
103	94, 102	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
104	103	reximdv 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
105	104	imim2d 54	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2499	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. R. ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
107	106	impr 376	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
108		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y +R x ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
109	108	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
110		breq1 3932	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y <R ( ( F ` k ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
111	109, 110	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
112	111	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
113	112	rexralbidv 2461	. . . . . 6 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
114	113	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
115	114	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
116	115	rspcev 2789	. . 3 |- ( ( ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
117	16, 107, 116	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
118	8, 117	rexlimddv 2554	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7080   <N clti 7083   ~Q ceq 7087   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093   1Pc1p 7100   +P. cpp 7101   ~R cer 7104   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   1Rc1r 7107   -1Rcm1r 7108   +R cplr 7109   .R cmr 7110   <R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-ltr 7538  df-0r 7539  df-1r 7540  df-m1r 7541

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7609