Theorem caucvgsrlemoffres 7799

Description: Lemma for caucvgsr 7801. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, k   x, A, j, k   A, m, k   y, A, j, k, x   F, a, k   y, F   x, G, j, k   G, l, u, j, k   m, G, n, k   n, l, u   n, a, ph, k   ph, x, j   ph, m, n, a

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)   A( u, n, l)   F( x, u, j, m, n, l)   G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables i f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7796	. . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7797	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7798	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7794	. 2 |- ( ph -> E. z e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) )
9		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> z e. R. )
10	3	caucvgsrlemasr 7789	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. R. )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A e. R. )
12		addclsr 7752	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ A e. R. ) -> ( z +R A ) e. R. )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( z +R A ) e. R. )
14		m1r 7751	. . . 4 |- -1R e. R.
15		addclsr 7752	. . . 4 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
17		ltasrg 7769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
19	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> G : N. --> R. )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> i e. N. )
21	19, 20	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( G ` i ) e. R. )
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> z e. R. )
23		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> x e. R. )
24		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( z +R x ) e. R. )
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R x ) e. R. )
26	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> A e. R. )
27		addcomsrg 7754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
31	30	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
32	31	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
33	32	breq1d 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
34	29, 33	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
35		addasssrg 7755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R x ) +R A ) = ( ( z +R A ) +R x ) )
38	37	breq2d 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) ) )
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> F : N. --> R. )
40	39	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( F ` i ) e. R. )
41		1sr 7750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1R e. R.
42		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
43	40, 41, 42	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
44	22, 26, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R A ) e. R. )
45		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
46	44, 23, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> -1R e. R. )
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) ) )
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> 1R e. R. )
50		addasssrg 7755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
52		addcomsrg 7754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R ) )
53	41, 14, 52	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R )
54		m1p1sr 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
55	53, 54	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1R +R -1R ) = 0R
56	55	oveq2i 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( F ` i ) +R 0R )
57		0idsr 7766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` i ) e. R. -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
59	56, 58	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( F ` i ) )
60	51, 59	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( F ` i ) )
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
62	60, 61	breq12d 4017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
63	48, 62	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
64	34, 38, 63	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
65	64	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) -> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
66		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
67	21, 23, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) ) )
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) )
70	32	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
71	69, 70	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
72	71	breq2d 4016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
73	68, 72	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
74		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
75	43, 23, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) ) )
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) )
78	77	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) )
79		addclsr 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
80	40, 23, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
81		addasssrg 7755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
84	55	oveq2i 5886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R )
85	83, 84	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) )
86		0idsr 7766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
88	85, 87	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
89	88	breq2d 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
90	73, 76, 89	3bitrd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
91	90	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
92	65, 91	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) )
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
94	93	ralimdva 2544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
95		breq2 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( j <N i <-> j <N k ) )
96		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
97	96	breq1d 4014	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
98	96	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) +R x ) = ( ( F ` k ) +R x ) )
99	98	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
100	97, 99	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
101	95, 100	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
102	101	cbvralv 2704	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
103	94, 102	imbitrdi 161	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
104	103	reximdv 2578	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
105	104	imim2d 54	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2544	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. R. ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
107	106	impr 379	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
108		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y +R x ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
109	108	breq2d 4016	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
110		breq1 4007	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y <R ( ( F ` k ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
111	109, 110	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
112	111	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
113	112	rexralbidv 2503	. . . . . 6 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
114	113	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
115	114	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
116	115	rspcev 2842	. . 3 |- ( ( ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
117	16, 107, 116	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
118	8, 117	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   <.cop 3596   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   [cec 6533   N.cnpi 7271   <N clti 7274   ~Q ceq 7278   *Qcrq 7283   <Q cltq 7284   1Pc1p 7291   +P. cpp 7292   ~R cer 7295   R.cnr 7296   0Rc0r 7297   1Rc1r 7298   -1Rcm1r 7299   +R cplr 7300   .R cmr 7301   <R cltr 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-ltr 7729  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7800