Theorem caucvgsrlemoffres 7762

Description: Lemma for caucvgsr 7764. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, k   x, A, j, k   A, m, k   y, A, j, k, x   F, a, k   y, F   x, G, j, k   G, l, u, j, k   m, G, n, k   n, l, u   n, a, ph, k   ph, x, j   ph, m, n, a

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)   A( u, n, l)   F( x, u, j, m, n, l)   G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres

Dummy variables i f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 7759	. . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 7760	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 7761	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 7757	. 2 |- ( ph -> E. z e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) )
9		simprl 526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> z e. R. )
10	3	caucvgsrlemasr 7752	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. R. )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A e. R. )
12		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ A e. R. ) -> ( z +R A ) e. R. )
13	9, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( z +R A ) e. R. )
14		m1r 7714	. . . 4 |- -1R e. R.
15		addclsr 7715	. . . 4 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
16	13, 14, 15	sylancl 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. )
17		ltasrg 7732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
19	5	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> G : N. --> R. )
20		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> i e. N. )
21	19, 20	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( G ` i ) e. R. )
22		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> z e. R. )
23		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> x e. R. )
24		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( z +R x ) e. R. )
25	22, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R x ) e. R. )
26	10	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> A e. R. )
27		addcomsrg 7717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 7758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
31	30	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
32	31	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R A ) = ( ( F ` i ) +R 1R ) )
33	32	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
34	29, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) ) )
35		addasssrg 7718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R x ) +R A ) = ( ( z +R A ) +R x ) )
38	37	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R x ) +R A ) <-> ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) ) )
39	1	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> F : N. --> R. )
40	39	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( F ` i ) e. R. )
41		1sr 7713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1R e. R.
42		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
43	40, 41, 42	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. )
44	22, 26, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z +R A ) e. R. )
45		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +R A ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
46	44, 23, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) +R x ) e. R. )
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> -1R e. R. )
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) ) )
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> 1R e. R. )
50		addasssrg 7718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
52		addcomsrg 7717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R ) )
53	41, 14, 52	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1R +R -1R ) = ( -1R +R 1R )
54		m1p1sr 7722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
55	53, 54	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1R +R -1R ) = 0R
56	55	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( F ` i ) +R 0R )
57		0idsr 7729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` i ) e. R. -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R 0R ) = ( F ` i ) )
59	56, 58	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( F ` i ) )
60	51, 59	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) = ( F ` i ) )
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
62	60, 61	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R -1R ) <R ( ( ( z +R A ) +R x ) +R -1R ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
63	48, 62	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) <R ( ( z +R A ) +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
64	34, 38, 63	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) <-> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
65	64	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) -> ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
66		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
67	21, 23, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( G ` i ) +R x ) e. R. )
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) ) )
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) )
70	32	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R A ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
71	69, 70	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) = ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) )
72	71	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( G ` i ) +R x ) +R A ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
73	68, 72	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) ) )
74		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
75	43, 23, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) e. R. )
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( z +R A ) <R ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) ) )
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) )
78	77	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) )
79		addclsr 7715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` i ) e. R. /\ x e. R. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
80	40, 23, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( F ` i ) +R x ) e. R. )
81		addasssrg 7718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 1R ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) )
84	55	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) +R ( 1R +R -1R ) ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R )
85	83, 84	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) )
86		0idsr 7729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` i ) +R x ) e. R. -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( F ` i ) +R x ) +R 0R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
88	85, 87	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) = ( ( F ` i ) +R x ) )
89	88	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( ( ( F ` i ) +R 1R ) +R x ) +R -1R ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
90	73, 76, 89	3bitrd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
91	90	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( z <R ( ( G ` i ) +R x ) -> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) )
92	65, 91	anim12d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) )
93	92	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) /\ i e. N. ) -> ( ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
94	93	ralimdva 2537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) ) )
95		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( j <N i <-> j <N k ) )
96		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
97	96	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
98	96	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) +R x ) = ( ( F ` k ) +R x ) )
99	98	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
100	97, 99	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
101	95, 100	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
102	101	cbvralv 2696	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( F ` i ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` i ) +R x ) ) ) <-> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
103	94, 102	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
104	103	reximdv 2571	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
105	104	imim2d 54	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. R. ) /\ x e. R. ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
106	105	ralimdva 2537	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. R. ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
107	106	impr 377	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
108		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y +R x ) = ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) )
109	108	breq2d 4001	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) <-> ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) ) )
110		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( y <R ( ( F ` k ) +R x ) <-> ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) )
111	109, 110	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) <-> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) )
112	111	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
113	112	rexralbidv 2496	. . . . . 6 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) <-> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
114	113	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
115	114	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( y = ( ( z +R A ) +R -1R ) -> ( A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) <-> A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) )
116	115	rspcev 2834	. . 3 |- ( ( ( ( z +R A ) +R -1R ) e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( ( ( z +R A ) +R -1R ) +R x ) /\ ( ( z +R A ) +R -1R ) <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
117	16, 107, 116	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. R. /\ A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. i e. N. ( j <N i -> ( ( G ` i ) <R ( z +R x ) /\ z <R ( ( G ` i ) +R x ) ) ) ) ) ) -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )
118	8, 117	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   [cec 6511   N.cnpi 7234   <N clti 7237   ~Q ceq 7241   *Qcrq 7246   <Q cltq 7247   1Pc1p 7254   +P. cpp 7255   ~R cer 7258   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   1Rc1r 7261   -1Rcm1r 7262   +R cplr 7263   .R cmr 7264   <R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695

This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  7763