ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Unicode version
Theorem fsumsplitsnun 12043
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Distinct variable groups:   A, k   k, Z
Allowed substitution hints:   B( k)   V( k)
Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2499 . . . . . . 7 |- ( Z e/ A <-> -. Z e. A )
2 disjsn 3735 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. A )
31, 2sylbb2 138 . . . . . 6 |- ( Z e/ A -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
43adantl 277 . . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
543ad2ant2 1046 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
6 eqidd 2232 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) = ( A u. { Z } ) )
7 simp1 1024 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
8 simp2l 1050 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. V )
9 snfig 7032 . . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } e. Fin )
108, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> { Z } e. Fin )
11 unfidisj 7157 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { Z } e. Fin /\ ( A i^i { Z } ) = (/) ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
127, 10, 5, 11syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
13 rspcsbela 3188 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1413expcom 116 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
15143ad2ant3 1047 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
1615imp 124 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1716zcnd 9647 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
185, 6, 12, 17fsumsplit 12031 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B ) )
19 nfcv 2375 . . . 4 |- F/_ x B
20 nfcsb1v 3161 . . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
21 csbeq1a 3137 . . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
2219, 20, 21cbvsumi 11985 . . 3 |- sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B
2319, 20, 21cbvsumi 11985 . . . 4 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
2419, 20, 21cbvsumi 11985 . . . 4 |- sum_ k e. { Z } B = sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B
2523, 24oveq12i 6040 . . 3 |- ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B )
2618, 22, 253eqtr4g 2289 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) )
27 snidg 3702 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
2827adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> Z e. { Z } )
29283ad2ant2 1046 . . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. { Z } )
30 elun2 3377 . . . . . . 7 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( A u. { Z } ) )
3129, 30syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. ( A u. { Z } ) )
32 simp3 1026 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ )
33 rspcsbela 3188 . . . . . 6 |- ( ( Z e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3534zcnd 9647 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. CC )
36 sumsns 12039 . . . 4 |- ( ( Z e. V /\ [_ Z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
378, 35, 36syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
3837oveq2d 6044 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
3926, 38eqtrd 2264 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   e/ wnel 2498   A.wral 2511   [_csb 3128   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   {csn 3673  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   + caddc 8078   ZZcz 9523   sum_csu 11976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977
This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12081
  Copyright terms: Public domain W3C validator