ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Unicode version
Theorem fsumsplitsnun 12211
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Distinct variable groups:   A, k   k, Z
Allowed substitution hints:   B( k)   V( k)
Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2516 . . . . . . 7 |- ( Z e/ A <-> -. Z e. A )
2 disjsn 3771 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. A )
31, 2sylbb2 138 . . . . . 6 |- ( Z e/ A -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
43adantl 277 . . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
543ad2ant2 1050 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
6 eqidd 2239 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) = ( A u. { Z } ) )
7 simp1 1028 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
8 simp2l 1054 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. V )
9 snfig 7107 . . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } e. Fin )
108, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> { Z } e. Fin )
11 unfidisj 7233 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { Z } e. Fin /\ ( A i^i { Z } ) = (/) ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
127, 10, 5, 11syl3anc 1278 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
13 rspcsbela 3207 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1413expcom 116 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
15143ad2ant3 1051 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
1615imp 124 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1716zcnd 9780 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
185, 6, 12, 17fsumsplit 12199 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B ) )
19 nfcv 2392 . . . 4 |- F/_ x B
20 nfcsb1v 3180 . . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
21 csbeq1a 3156 . . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
2219, 20, 21cbvsumi 12153 . . 3 |- sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B
2319, 20, 21cbvsumi 12153 . . . 4 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
2419, 20, 21cbvsumi 12153 . . . 4 |- sum_ k e. { Z } B = sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B
2523, 24oveq12i 6100 . . 3 |- ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B )
2618, 22, 253eqtr4g 2296 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) )
27 snidg 3738 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
2827adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> Z e. { Z } )
29283ad2ant2 1050 . . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. { Z } )
30 elun2 3397 . . . . . . 7 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( A u. { Z } ) )
3129, 30syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. ( A u. { Z } ) )
32 simp3 1030 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ )
33 rspcsbela 3207 . . . . . 6 |- ( ( Z e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3431, 32, 33syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3534zcnd 9780 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. CC )
36 sumsns 12207 . . . 4 |- ( ( Z e. V /\ [_ Z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
378, 35, 36syl2anc 415 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
3837oveq2d 6104 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
3926, 38eqtrd 2271 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   A.wral 2528   [_csb 3147   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   CCcc 8183   + caddc 8188   ZZcz 9655   sum_csu 12144
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145
This theorem is used by:  modfsummodlemstep  12249
  Copyright terms: Public domain W3C validator