ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Unicode version
Theorem fsumsplitsnun 12105
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Distinct variable groups:   A, k   k, Z
Allowed substitution hints:   B( k)   V( k)
Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2508 . . . . . . 7 |- ( Z e/ A <-> -. Z e. A )
2 disjsn 3751 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. A )
31, 2sylbb2 138 . . . . . 6 |- ( Z e/ A -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
43adantl 277 . . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
543ad2ant2 1046 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
6 eqidd 2233 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) = ( A u. { Z } ) )
7 simp1 1024 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
8 simp2l 1050 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. V )
9 snfig 7056 . . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } e. Fin )
108, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> { Z } e. Fin )
11 unfidisj 7182 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { Z } e. Fin /\ ( A i^i { Z } ) = (/) ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
127, 10, 5, 11syl3anc 1274 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
13 rspcsbela 3198 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1413expcom 116 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
15143ad2ant3 1047 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
1615imp 124 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1716zcnd 9701 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
185, 6, 12, 17fsumsplit 12093 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B ) )
19 nfcv 2384 . . . 4 |- F/_ x B
20 nfcsb1v 3171 . . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
21 csbeq1a 3147 . . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
2219, 20, 21cbvsumi 12047 . . 3 |- sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B
2319, 20, 21cbvsumi 12047 . . . 4 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
2419, 20, 21cbvsumi 12047 . . . 4 |- sum_ k e. { Z } B = sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B
2523, 24oveq12i 6062 . . 3 |- ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B )
2618, 22, 253eqtr4g 2290 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) )
27 snidg 3718 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
2827adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> Z e. { Z } )
29283ad2ant2 1046 . . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. { Z } )
30 elun2 3387 . . . . . . 7 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( A u. { Z } ) )
3129, 30syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. ( A u. { Z } ) )
32 simp3 1026 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ )
33 rspcsbela 3198 . . . . . 6 |- ( ( Z e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3534zcnd 9701 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. CC )
36 sumsns 12101 . . . 4 |- ( ( Z e. V /\ [_ Z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
378, 35, 36syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
3837oveq2d 6066 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
3926, 38eqtrd 2265 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   e/ wnel 2507   A.wral 2520   [_csb 3138   u. cun 3209   i^i cin 3210   (/)c0 3508   {csn 3689  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   + caddc 8130   ZZcz 9577   sum_csu 12038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039
This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12143
  Copyright terms: Public domain W3C validator