ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Unicode version
Theorem fsumsplitsnun 11945
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Distinct variable groups:   A, k   k, Z
Allowed substitution hints:   B( k)   V( k)
Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2496 . . . . . . 7 |- ( Z e/ A <-> -. Z e. A )
2 disjsn 3728 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. A )
31, 2sylbb2 138 . . . . . 6 |- ( Z e/ A -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
43adantl 277 . . . . 5 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
543ad2ant2 1043 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
6 eqidd 2230 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) = ( A u. { Z } ) )
7 simp1 1021 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
8 simp2l 1047 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. V )
9 snfig 6975 . . . . . 6 |- ( Z e. V -> { Z } e. Fin )
108, 9syl 14 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> { Z } e. Fin )
11 unfidisj 7095 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ { Z } e. Fin /\ ( A i^i { Z } ) = (/) ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
127, 10, 5, 11syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( A u. { Z } ) e. Fin )
13 rspcsbela 3184 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1413expcom 116 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
15143ad2ant3 1044 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( x e. ( A u. { Z } ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ ) )
1615imp 124 . . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
1716zcnd 9581 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) /\ x e. ( A u. { Z } ) ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
185, 6, 12, 17fsumsplit 11933 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B ) )
19 nfcv 2372 . . . 4 |- F/_ x B
20 nfcsb1v 3157 . . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
21 csbeq1a 3133 . . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
2219, 20, 21cbvsumi 11888 . . 3 |- sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = sum_ x e. ( A u. { Z } ) [_ x / k ]_ B
2319, 20, 21cbvsumi 11888 . . . 4 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
2419, 20, 21cbvsumi 11888 . . . 4 |- sum_ k e. { Z } B = sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B
2523, 24oveq12i 6019 . . 3 |- ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ x e. A [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { Z } [_ x / k ]_ B )
2618, 22, 253eqtr4g 2287 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) )
27 snidg 3695 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
2827adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( Z e. V /\ Z e/ A ) -> Z e. { Z } )
29283ad2ant2 1043 . . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. { Z } )
30 elun2 3372 . . . . . . 7 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( A u. { Z } ) )
3129, 30syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> Z e. ( A u. { Z } ) )
32 simp3 1023 . . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ )
33 rspcsbela 3184 . . . . . 6 |- ( ( Z e. ( A u. { Z } ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. ZZ )
3534zcnd 9581 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> [_ Z / k ]_ B e. CC )
36 sumsns 11941 . . . 4 |- ( ( Z e. V /\ [_ Z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
378, 35, 36syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. { Z } B = [_ Z / k ]_ B )
3837oveq2d 6023 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. A B + sum_ k e. { Z } B ) = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
3926, 38eqtrd 2262 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( Z e. V /\ Z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { Z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { Z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ Z / k ]_ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   A.wral 2508   [_csb 3124   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   CCcc 8008   + caddc 8013   ZZcz 9457   sum_csu 11879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880
This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11983
  Copyright terms: Public domain W3C validator