ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf Unicode version

Theorem fsumsplitf 10789
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 10788 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph  |-  F/ k
ph
fsumsplitf.ab  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplitf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplitf.fi  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplitf.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    U, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 2941 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
2 nfcv 2228 . . . 4  |-  F/_ j U
3 nfcv 2228 . . . 4  |-  F/_ k U
4 nfcv 2228 . . . 4  |-  F/_ j C
5 nfcsb1v 2963 . . . 4  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 10736 . . 3  |-  sum_ k  e.  U  C  =  sum_ j  e.  U  [_ j  /  k ]_ C
76a1i 9 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  sum_ j  e.  U  [_ j  / 
k ]_ C )
8 fsumsplitf.ab . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
9 fsumsplitf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
10 fsumsplitf.fi . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
11 fsumsplitf.ph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
12 nfv 1466 . . . . . 6  |-  F/ k  j  e.  U
1311, 12nfan 1502 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  U )
145nfel1 2239 . . . . 5  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  CC
1513, 14nfim 1509 . . . 4  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC )
16 eleq1w 2148 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  U  <->  j  e.  U ) )
1716anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  U )  <->  ( ph  /\  j  e.  U ) ) )
181eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
1917, 18imbi12d 232 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC ) ) )
20 fsumsplitf.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2115, 19, 20chvar 1687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC )
228, 9, 10, 21fsumsplit 10788 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  U  [_ j  /  k ]_ C  =  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  /  k ]_ C ) )
23 csbeq1a 2941 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  [_ j  /  k ]_ C  =  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C )
24 csbco 2942 . . . . . . . . 9  |-  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  [_ k  /  k ]_ C
25 csbid 2940 . . . . . . . . 9  |-  [_ k  /  k ]_ C  =  C
2624, 25eqtri 2108 . . . . . . . 8  |-  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  C
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  C )
2823, 27eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  [_ j  /  k ]_ C  =  C )
29 nfcv 2228 . . . . . 6  |-  F/_ k A
30 nfcv 2228 . . . . . 6  |-  F/_ j A
3128, 29, 30, 5, 4cbvsum 10736 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  A  C
32 eqid 2088 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  A  C
3331, 32eqtri 2108 . . . 4  |-  sum_ j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  A  C
345, 4, 28cbvsumi 10738 . . . 4  |-  sum_ j  e.  B  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  B  C
3533, 34oveq12i 5656 . . 3  |-  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  /  k ]_ C )  =  (
sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )
3635a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
377, 22, 363eqtrd 2124 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   F/wnf 1394    e. wcel 1438   [_csb 2933    u. cun 2997    i^i cin 2998   (/)c0 3286  (class class class)co 5644   Fincfn 6447   CCcc 7338    + caddc 7343   sum_csu 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-isom 5019  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654  df-isum 10730
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  10791
  Copyright terms: Public domain W3C validator