Theorem fsumsplitf 11573

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11572 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	|- F/ k ph
fsumsplitf.ab	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3093	. . . 4 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
2		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ j U
3		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ k U
4		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ j C
5		nfcsb1v 3117	. . . 4 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11525	. . 3 |- sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C )
8		fsumsplitf.ab	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
9		fsumsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
10		fsumsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
12		nfv 1542	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
13	11, 12	nfan 1579	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
14	5	nfel1 2350	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
15	13, 14	nfim 1586	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
16		eleq1w 2257	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
18	1	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
20		fsumsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	15, 19, 20	chvar 1771	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 11572	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
23		csbeq1a 3093	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C )
24		csbco 3094	. . . . . . . . 9 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = [_ k / k ]_ C
25		csbid 3092	. . . . . . . . 9 |- [_ k / k ]_ C = C
26	24, 25	eqtri 2217	. . . . . . . 8 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C )
28	23, 27	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = C )
29		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ k A
30		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ j A
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 11525	. . . . 5 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
32		eqid 2196	. . . . 5 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. A C
33	31, 32	eqtri 2217	. . . 4 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
34	5, 4, 28	cbvsumi 11527	. . . 4 |- sum_ j e. B [_ j / k ]_ C = sum_ k e. B C
35	33, 34	oveq12i 5934	. . 3 |- ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C )
36	35	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )
37	7, 22, 36	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1474   e. wcel 2167   [_csb 3084   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   + caddc 7882   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11575