Theorem fsumsplitf 10789

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 10788 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	|- F/ k ph
fsumsplitf.ab	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 2941	. . . 4 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
2		nfcv 2228	. . . 4 |- F/_ j U
3		nfcv 2228	. . . 4 |- F/_ k U
4		nfcv 2228	. . . 4 |- F/_ j C
5		nfcsb1v 2963	. . . 4 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 10736	. . 3 |- sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C )
8		fsumsplitf.ab	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
9		fsumsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
10		fsumsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
12		nfv 1466	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
13	11, 12	nfan 1502	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
14	5	nfel1 2239	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
15	13, 14	nfim 1509	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
16		eleq1w 2148	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
17	16	anbi2d 452	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
18	1	eleq1d 2156	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
19	17, 18	imbi12d 232	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
20		fsumsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	15, 19, 20	chvar 1687	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 10788	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
23		csbeq1a 2941	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C )
24		csbco 2942	. . . . . . . . 9 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = [_ k / k ]_ C
25		csbid 2940	. . . . . . . . 9 |- [_ k / k ]_ C = C
26	24, 25	eqtri 2108	. . . . . . . 8 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C )
28	23, 27	eqtrd 2120	. . . . . 6 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = C )
29		nfcv 2228	. . . . . 6 |- F/_ k A
30		nfcv 2228	. . . . . 6 |- F/_ j A
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 10736	. . . . 5 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
32		eqid 2088	. . . . 5 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. A C
33	31, 32	eqtri 2108	. . . 4 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
34	5, 4, 28	cbvsumi 10738	. . . 4 |- sum_ j e. B [_ j / k ]_ C = sum_ k e. B C
35	33, 34	oveq12i 5656	. . 3 |- ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C )
36	35	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )
37	7, 22, 36	3eqtrd 2124	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   F/wnf 1394   e. wcel 1438   [_csb 2933   u. cun 2997   i^i cin 2998   (/)c0 3286  (class class class)co 5644   Fincfn 6447   CCcc 7338   + caddc 7343   sum_csu 10729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-isom 5019  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654  df-isum 10730

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  10791