ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf Unicode version

Theorem fsumsplitf 11435
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11434 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph  |-  F/ k
ph
fsumsplitf.ab  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplitf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplitf.fi  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplitf.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    U, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3081 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
2 nfcv 2332 . . . 4  |-  F/_ j U
3 nfcv 2332 . . . 4  |-  F/_ k U
4 nfcv 2332 . . . 4  |-  F/_ j C
5 nfcsb1v 3105 . . . 4  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 11387 . . 3  |-  sum_ k  e.  U  C  =  sum_ j  e.  U  [_ j  /  k ]_ C
76a1i 9 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  sum_ j  e.  U  [_ j  / 
k ]_ C )
8 fsumsplitf.ab . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
9 fsumsplitf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
10 fsumsplitf.fi . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
11 fsumsplitf.ph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
12 nfv 1539 . . . . . 6  |-  F/ k  j  e.  U
1311, 12nfan 1576 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  U )
145nfel1 2343 . . . . 5  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  CC
1513, 14nfim 1583 . . . 4  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC )
16 eleq1w 2250 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  U  <->  j  e.  U ) )
1716anbi2d 464 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  U )  <->  ( ph  /\  j  e.  U ) ) )
181eleq1d 2258 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
1917, 18imbi12d 234 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC ) ) )
20 fsumsplitf.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2115, 19, 20chvar 1768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  U )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  CC )
228, 9, 10, 21fsumsplit 11434 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  U  [_ j  /  k ]_ C  =  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  /  k ]_ C ) )
23 csbeq1a 3081 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  [_ j  /  k ]_ C  =  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C )
24 csbco 3082 . . . . . . . . 9  |-  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  [_ k  /  k ]_ C
25 csbid 3080 . . . . . . . . 9  |-  [_ k  /  k ]_ C  =  C
2624, 25eqtri 2210 . . . . . . . 8  |-  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  C
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  [_ k  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ C  =  C )
2823, 27eqtrd 2222 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  [_ j  /  k ]_ C  =  C )
29 nfcv 2332 . . . . . 6  |-  F/_ k A
30 nfcv 2332 . . . . . 6  |-  F/_ j A
3128, 29, 30, 5, 4cbvsum 11387 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  A  C
32 eqid 2189 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  A  C
3331, 32eqtri 2210 . . . 4  |-  sum_ j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  A  C
345, 4, 28cbvsumi 11389 . . . 4  |-  sum_ j  e.  B  [_ j  / 
k ]_ C  =  sum_ k  e.  B  C
3533, 34oveq12i 5903 . . 3  |-  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  /  k ]_ C )  =  (
sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )
3635a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ C  +  sum_ j  e.  B  [_ j  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
377, 22, 363eqtrd 2226 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   F/wnf 1471    e. wcel 2160   [_csb 3072    u. cun 3142    i^i cin 3143   (/)c0 3437  (class class class)co 5891   Fincfn 6758   CCcc 7828    + caddc 7833   sum_csu 11380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11437
  Copyright terms: Public domain W3C validator