Theorem fsumsplitf 11170

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11169 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	|- F/ k ph
fsumsplitf.ab	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3007	. . . 4 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
2		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ j U
3		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ k U
4		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ j C
5		nfcsb1v 3030	. . . 4 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11122	. . 3 |- sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C )
8		fsumsplitf.ab	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
9		fsumsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
10		fsumsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
12		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
13	11, 12	nfan 1544	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
14	5	nfel1 2290	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
15	13, 14	nfim 1551	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
16		eleq1w 2198	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
17	16	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
18	1	eleq1d 2206	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
20		fsumsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	15, 19, 20	chvar 1730	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 11169	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
23		csbeq1a 3007	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C )
24		csbco 3008	. . . . . . . . 9 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = [_ k / k ]_ C
25		csbid 3006	. . . . . . . . 9 |- [_ k / k ]_ C = C
26	24, 25	eqtri 2158	. . . . . . . 8 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C )
28	23, 27	eqtrd 2170	. . . . . 6 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = C )
29		nfcv 2279	. . . . . 6 |- F/_ k A
30		nfcv 2279	. . . . . 6 |- F/_ j A
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 11122	. . . . 5 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
32		eqid 2137	. . . . 5 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. A C
33	31, 32	eqtri 2158	. . . 4 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
34	5, 4, 28	cbvsumi 11124	. . . 4 |- sum_ j e. B [_ j / k ]_ C = sum_ k e. B C
35	33, 34	oveq12i 5779	. . 3 |- ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C )
36	35	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )
37	7, 22, 36	3eqtrd 2174	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   F/wnf 1436   e. wcel 1480   [_csb 2998   u. cun 3064   i^i cin 3065   (/)c0 3358  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   CCcc 7611   + caddc 7616   sum_csu 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11172