Theorem fsumsplitf 11448

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11447 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	|- F/ k ph
fsumsplitf.ab	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3081	. . . 4 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
2		nfcv 2332	. . . 4 |- F/_ j U
3		nfcv 2332	. . . 4 |- F/_ k U
4		nfcv 2332	. . . 4 |- F/_ j C
5		nfcsb1v 3105	. . . 4 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11400	. . 3 |- sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C )
8		fsumsplitf.ab	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
9		fsumsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
10		fsumsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
12		nfv 1539	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
13	11, 12	nfan 1576	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
14	5	nfel1 2343	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
15	13, 14	nfim 1583	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
16		eleq1w 2250	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
18	1	eleq1d 2258	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
20		fsumsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	15, 19, 20	chvar 1768	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 11447	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
23		csbeq1a 3081	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C )
24		csbco 3082	. . . . . . . . 9 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = [_ k / k ]_ C
25		csbid 3080	. . . . . . . . 9 |- [_ k / k ]_ C = C
26	24, 25	eqtri 2210	. . . . . . . 8 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C )
28	23, 27	eqtrd 2222	. . . . . 6 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = C )
29		nfcv 2332	. . . . . 6 |- F/_ k A
30		nfcv 2332	. . . . . 6 |- F/_ j A
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 11400	. . . . 5 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
32		eqid 2189	. . . . 5 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. A C
33	31, 32	eqtri 2210	. . . 4 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
34	5, 4, 28	cbvsumi 11402	. . . 4 |- sum_ j e. B [_ j / k ]_ C = sum_ k e. B C
35	33, 34	oveq12i 5908	. . 3 |- ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C )
36	35	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )
37	7, 22, 36	3eqtrd 2226	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2160   [_csb 3072   u. cun 3142   i^i cin 3143   (/)c0 3437  (class class class)co 5896   Fincfn 6766   CCcc 7839   + caddc 7844   sum_csu 11393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11450