Theorem fsumsplitf 11834

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11833 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	|- F/ k ph
fsumsplitf.ab	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fsumsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fsumsplitf.fi	|- ( ph -> U e. Fin )
fsumsplitf.c	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	|- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   U, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3110	. . . 4 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
2		nfcv 2350	. . . 4 |- F/_ j U
3		nfcv 2350	. . . 4 |- F/_ k U
4		nfcv 2350	. . . 4 |- F/_ j C
5		nfcsb1v 3134	. . . 4 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11786	. . 3 |- sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U C = sum_ j e. U [_ j / k ]_ C )
8		fsumsplitf.ab	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
9		fsumsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
10		fsumsplitf.fi	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 |- F/ k ph
12		nfv 1552	. . . . . 6 |- F/ k j e. U
13	11, 12	nfan 1589	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. U )
14	5	nfel1 2361	. . . . 5 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. CC
15	13, 14	nfim 1596	. . . 4 |- F/ k ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
16		eleq1w 2268	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. U ) <-> ( ph /\ j e. U ) ) )
18	1	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( k = j -> ( C e. CC <-> [_ j / k ]_ C e. CC ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC ) ) )
20		fsumsplitf.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
21	15, 19, 20	chvar 1781	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. U ) -> [_ j / k ]_ C e. CC )
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 11833	. 2 |- ( ph -> sum_ j e. U [_ j / k ]_ C = ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) )
23		csbeq1a 3110	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C )
24		csbco 3111	. . . . . . . . 9 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = [_ k / k ]_ C
25		csbid 3109	. . . . . . . . 9 |- [_ k / k ]_ C = C
26	24, 25	eqtri 2228	. . . . . . . 8 |- [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( j = k -> [_ k / j ]_ [_ j / k ]_ C = C )
28	23, 27	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ C = C )
29		nfcv 2350	. . . . . 6 |- F/_ k A
30		nfcv 2350	. . . . . 6 |- F/_ j A
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 11786	. . . . 5 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
32		eqid 2207	. . . . 5 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. A C
33	31, 32	eqtri 2228	. . . 4 |- sum_ j e. A [_ j / k ]_ C = sum_ k e. A C
34	5, 4, 28	cbvsumi 11788	. . . 4 |- sum_ j e. B [_ j / k ]_ C = sum_ k e. B C
35	33, 34	oveq12i 5979	. . 3 |- ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C )
36	35	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. A [_ j / k ]_ C + sum_ j e. B [_ j / k ]_ C ) = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )
37	7, 22, 36	3eqtrd 2244	1 |- ( ph -> sum_ k e. U C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   F/wnf 1484   e. wcel 2178   [_csb 3101   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   + caddc 7963   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11836