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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sumsnf | Unicode version |
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11436 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
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sumsnf.1 |
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sumsnf.2 |
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Ref | Expression |
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sumsnf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nfcv 2331 |
. . . . 5
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2 | nfcsb1v 3104 |
. . . . 5
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3 | csbeq1a 3080 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | cbvsumi 11387 |
. . . 4
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5 | csbeq1 3074 |
. . . . 5
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6 | 1nn 8947 |
. . . . . 6
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7 | 6 | a1i 9 |
. . . . 5
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8 | simpl 109 |
. . . . . . 7
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9 | f1osng 5516 |
. . . . . . 7
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10 | 6, 8, 9 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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11 | 1z 9296 |
. . . . . . 7
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12 | fzsn 10083 |
. . . . . . 7
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13 | f1oeq2 5464 |
. . . . . . 7
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14 | 11, 12, 13 | mp2b 8 |
. . . . . 6
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15 | 10, 14 | sylibr 134 |
. . . . 5
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16 | elsni 3624 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | csbeq1d 3078 |
. . . . . 6
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19 | sumsnf.1 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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21 | sumsnf.2 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | csbiegf 3114 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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24 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | eqeltrd 2265 |
. . . . . 6
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26 | 18, 25 | eqeltrd 2265 |
. . . . 5
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27 | 22 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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28 | elfz1eq 10052 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | fveq2d 5533 |
. . . . . . . 8
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30 | fvsng 5727 |
. . . . . . . . 9
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31 | 6, 8, 30 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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32 | 29, 31 | sylan9eqr 2243 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | csbeq1d 3078 |
. . . . . 6
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34 | 28 | fveq2d 5533 |
. . . . . . 7
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35 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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36 | fvsng 5727 |
. . . . . . . 8
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37 | 6, 35, 36 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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38 | 34, 37 | sylan9eqr 2243 |
. . . . . 6
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39 | 27, 33, 38 | 3eqtr4rd 2232 |
. . . . 5
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40 | 5, 7, 15, 26, 39 | fsum3 11412 |
. . . 4
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41 | 4, 40 | eqtrid 2233 |
. . 3
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42 | 1zzd 9297 |
. . . 4
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43 | eqid 2188 |
. . . . . 6
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44 | breq1 4020 |
. . . . . . 7
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45 | fveq2 5529 |
. . . . . . 7
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46 | 44, 45 | ifbieq1d 3570 |
. . . . . 6
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47 | elnnuz 9581 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | biimpri 133 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | adantl 277 |
. . . . . 6
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50 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | eluzle 9557 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 51 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | eluzelre 9555 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 53 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 1red 7989 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 54, 55 | letri3d 8090 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 50, 52, 56 | mpbir2and 945 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | fveq2d 5533 |
. . . . . . . . 9
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59 | 37 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59 | eqtrd 2221 |
. . . . . . . 8
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61 | 35 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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62 | 60, 61 | eqeltrd 2265 |
. . . . . . 7
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63 | 0cnd 7967 |
. . . . . . 7
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64 | 49 | nnzd 9391 |
. . . . . . . 8
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65 | 1zzd 9297 |
. . . . . . . 8
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66 | zdcle 9346 |
. . . . . . . 8
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67 | 64, 65, 66 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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68 | 62, 63, 67 | ifcldadc 3577 |
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69 | 43, 46, 49, 68 | fvmptd3 5624 |
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70 | 69, 68 | eqeltrd 2265 |
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71 | addcl 7953 |
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72 | 71 | adantl 277 |
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73 | 42, 70, 72 | seq3-1 10477 |
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74 | 41, 73 | eqtrd 2221 |
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75 | 1le1 8546 |
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76 | 75 | iftruei 3554 |
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77 | 76, 37 | eqtrid 2233 |
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78 | 77, 35 | eqeltrd 2265 |
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79 | breq1 4020 |
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80 | fveq2 5529 |
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81 | 79, 80 | ifbieq1d 3570 |
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82 | 81, 43 | fvmptg 5607 |
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83 | 6, 78, 82 | sylancr 414 |
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84 | 74, 83, 77 | 3eqtrd 2225 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-coll 4132 ax-sep 4135 ax-nul 4143 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 ax-setind 4550 ax-iinf 4601 ax-cnex 7919 ax-resscn 7920 ax-1cn 7921 ax-1re 7922 ax-icn 7923 ax-addcl 7924 ax-addrcl 7925 ax-mulcl 7926 ax-mulrcl 7927 ax-addcom 7928 ax-mulcom 7929 ax-addass 7930 ax-mulass 7931 ax-distr 7932 ax-i2m1 7933 ax-0lt1 7934 ax-1rid 7935 ax-0id 7936 ax-rnegex 7937 ax-precex 7938 ax-cnre 7939 ax-pre-ltirr 7940 ax-pre-ltwlin 7941 ax-pre-lttrn 7942 ax-pre-apti 7943 ax-pre-ltadd 7944 ax-pre-mulgt0 7945 ax-pre-mulext 7946 ax-arch 7947 ax-caucvg 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ne 2360 df-nel 2455 df-ral 2472 df-rex 2473 df-reu 2474 df-rmo 2475 df-rab 2476 df-v 2753 df-sbc 2977 df-csb 3072 df-dif 3145 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-nul 3437 df-if 3549 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-iun 3902 df-br 4018 df-opab 4079 df-mpt 4080 df-tr 4116 df-id 4307 df-po 4310 df-iso 4311 df-iord 4380 df-on 4382 df-ilim 4383 df-suc 4385 df-iom 4604 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-co 4649 df-dm 4650 df-rn 4651 df-res 4652 df-ima 4653 df-iota 5192 df-fun 5232 df-fn 5233 df-f 5234 df-f1 5235 df-fo 5236 df-f1o 5237 df-fv 5238 df-isom 5239 df-riota 5846 df-ov 5893 df-oprab 5894 df-mpo 5895 df-1st 6158 df-2nd 6159 df-recs 6323 df-irdg 6388 df-frec 6409 df-1o 6434 df-oadd 6438 df-er 6552 df-en 6758 df-dom 6759 df-fin 6760 df-pnf 8011 df-mnf 8012 df-xr 8013 df-ltxr 8014 df-le 8015 df-sub 8147 df-neg 8148 df-reap 8549 df-ap 8556 df-div 8647 df-inn 8937 df-2 8995 df-3 8996 df-4 8997 df-n0 9194 df-z 9271 df-uz 9546 df-q 9637 df-rp 9671 df-fz 10026 df-fzo 10160 df-seqfrec 10463 df-exp 10537 df-ihash 10773 df-cj 10868 df-re 10869 df-im 10870 df-rsqrt 11024 df-abs 11025 df-clim 11304 df-sumdc 11379 |
This theorem is referenced by: fsumsplitsn 11435 sumsn 11436 |
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