Theorem sumsnf 11552

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11554 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	|- F/_ k B
sumsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. . . . 5 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3113	. . . . 5 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3089	. . . . 5 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvsumi 11505	. . . 4 |- sum_ k e. { M } A = sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3083	. . . . 5 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 8993	. . . . . 6 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> M e. V )
9		f1osng 5541	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11		1z 9343	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
12		fzsn 10132	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13		f1oeq2 5489	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	10, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16		elsni 3636	. . . . . . . 8 |- ( m e. { M } -> m = M )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> m = M )
18	17	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3124	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
25	23, 24	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
26	18, 25	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
27	22	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ M / k ]_ A = B )
28		elfz1eq 10101	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> n = 1 )
29	28	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
30		fvsng 5754	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
31	6, 8, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	29, 31	sylan9eqr 2248	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = M )
33	32	csbeq1d 3087	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
34	28	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5754	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	6, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	34, 37	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = B )
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2237	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11530	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
41	4, 40	eqtrid 2238	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
42		1zzd 9344	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
43		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) )
44		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( n <_ 1 <-> u <_ 1 ) )
45		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` u ) )
46	44, 45	ifbieq1d 3579	. . . . . 6 |- ( n = u -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
47		elnnuz 9629	. . . . . . . 8 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	47	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
49	48	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u <_ 1 )
51		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 <_ u )
53		eluzelre 9602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. RR )
54	53	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u e. RR )
55		1red 8034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 e. RR )
56	54, 55	letri3d 8135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( u = 1 <-> ( u <_ 1 /\ 1 <_ u ) ) )
57	50, 52, 56	mpbir2and 946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u = 1 )
58	57	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
59	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
60	58, 59	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = B )
61	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> B e. CC )
62	60, 61	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) e. CC )
63		0cnd 8012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ 1 ) -> 0 e. CC )
64	49	nnzd 9438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
65		1zzd 9344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
66		zdcle 9393	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID u <_ 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ 1 )
68	62, 63, 67	ifcldadc 3586	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) e. CC )
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5651	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
70	69, 68	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
71		addcl 7997	. . . . 5 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
72	71	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
73	42, 70, 72	seq3-1 10533	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
74	41, 73	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
75		1le1 8591	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
76	75	iftruei 3563	. . . . 5 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
77	76, 37	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = B )
78	77, 35	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC )
79		breq1 4032	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
80		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
81	79, 80	ifbieq1d 3579	. . . 4 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
82	81, 43	fvmptg 5633	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
83	6, 78, 82	sylancr 414	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
84	74, 83, 77	3eqtrd 2230	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   [_csb 3080   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11553  sumsn  11554