Theorem sumsnf 11936

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11938 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	|- F/_ k B
sumsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3157	. . . . 5 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3133	. . . . 5 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvsumi 11889	. . . 4 |- sum_ k e. { M } A = sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3127	. . . . 5 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9132	. . . . . 6 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> M e. V )
9		f1osng 5616	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11		1z 9483	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
12		fzsn 10274	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13		f1oeq2 5563	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	10, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16		elsni 3684	. . . . . . . 8 |- ( m e. { M } -> m = M )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> m = M )
18	17	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3168	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
25	23, 24	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
26	18, 25	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
27	22	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ M / k ]_ A = B )
28		elfz1eq 10243	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> n = 1 )
29	28	fveq2d 5633	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
30		fvsng 5839	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
31	6, 8, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	29, 31	sylan9eqr 2284	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = M )
33	32	csbeq1d 3131	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
34	28	fveq2d 5633	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5839	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	6, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	34, 37	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = B )
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2273	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11914	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
41	4, 40	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
42		1zzd 9484	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
43		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) )
44		breq1 4086	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( n <_ 1 <-> u <_ 1 ) )
45		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` u ) )
46	44, 45	ifbieq1d 3625	. . . . . 6 |- ( n = u -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
47		elnnuz 9771	. . . . . . . 8 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	47	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
49	48	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u <_ 1 )
51		eluzle 9746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 <_ u )
53		eluzelre 9744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. RR )
54	53	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u e. RR )
55		1red 8172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 e. RR )
56	54, 55	letri3d 8273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( u = 1 <-> ( u <_ 1 /\ 1 <_ u ) ) )
57	50, 52, 56	mpbir2and 950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u = 1 )
58	57	fveq2d 5633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
59	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
60	58, 59	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = B )
61	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> B e. CC )
62	60, 61	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) e. CC )
63		0cnd 8150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ 1 ) -> 0 e. CC )
64	49	nnzd 9579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
65		1zzd 9484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
66		zdcle 9534	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID u <_ 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ 1 )
68	62, 63, 67	ifcldadc 3632	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) e. CC )
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5730	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
70	69, 68	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
71		addcl 8135	. . . . 5 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
72	71	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
73	42, 70, 72	seq3-1 10696	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
74	41, 73	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
75		1le1 8730	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
76	75	iftruei 3608	. . . . 5 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
77	76, 37	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = B )
78	77, 35	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC )
79		breq1 4086	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
80		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
81	79, 80	ifbieq1d 3625	. . . 4 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
82	81, 43	fvmptg 5712	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
83	6, 78, 82	sylancr 414	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
84	74, 83, 77	3eqtrd 2266	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   [_csb 3124   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   <_ cle 8193   NNcn 9121   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216   seqcseq 10681   sum_csu 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11937  sumsn  11938