Theorem sumsnf 11835

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11837 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	|- F/_ k B
sumsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2350	. . . . 5 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3134	. . . . 5 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3110	. . . . 5 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvsumi 11788	. . . 4 |- sum_ k e. { M } A = sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3104	. . . . 5 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9082	. . . . . 6 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> M e. V )
9		f1osng 5586	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11		1z 9433	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
12		fzsn 10223	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13		f1oeq2 5533	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	10, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16		elsni 3661	. . . . . . . 8 |- ( m e. { M } -> m = M )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> m = M )
18	17	csbeq1d 3108	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3145	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
25	23, 24	eqeltrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
26	18, 25	eqeltrd 2284	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
27	22	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ M / k ]_ A = B )
28		elfz1eq 10192	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> n = 1 )
29	28	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
30		fvsng 5803	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
31	6, 8, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	29, 31	sylan9eqr 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = M )
33	32	csbeq1d 3108	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
34	28	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5803	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	6, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	34, 37	sylan9eqr 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = B )
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2251	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11813	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
41	4, 40	eqtrid 2252	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
42		1zzd 9434	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
43		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) )
44		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( n <_ 1 <-> u <_ 1 ) )
45		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` u ) )
46	44, 45	ifbieq1d 3602	. . . . . 6 |- ( n = u -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
47		elnnuz 9720	. . . . . . . 8 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	47	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
49	48	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u <_ 1 )
51		eluzle 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 <_ u )
53		eluzelre 9693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. RR )
54	53	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u e. RR )
55		1red 8122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 e. RR )
56	54, 55	letri3d 8223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( u = 1 <-> ( u <_ 1 /\ 1 <_ u ) ) )
57	50, 52, 56	mpbir2and 947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u = 1 )
58	57	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
59	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
60	58, 59	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = B )
61	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> B e. CC )
62	60, 61	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) e. CC )
63		0cnd 8100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ 1 ) -> 0 e. CC )
64	49	nnzd 9529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
65		1zzd 9434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
66		zdcle 9484	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID u <_ 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ 1 )
68	62, 63, 67	ifcldadc 3609	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) e. CC )
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5696	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
70	69, 68	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
71		addcl 8085	. . . . 5 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
72	71	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
73	42, 70, 72	seq3-1 10644	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
74	41, 73	eqtrd 2240	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
75		1le1 8680	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
76	75	iftruei 3585	. . . . 5 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
77	76, 37	eqtrid 2252	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = B )
78	77, 35	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC )
79		breq1 4062	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
80		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
81	79, 80	ifbieq1d 3602	. . . 4 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
82	81, 43	fvmptg 5678	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
83	6, 78, 82	sylancr 414	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
84	74, 83, 77	3eqtrd 2244	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   F/_wnfc 2337   [_csb 3101   ifcif 3579   {csn 3643   <.cop 3646   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   <_ cle 8143   NNcn 9071   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   seqcseq 10629   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11836  sumsn  11837