ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsnf Unicode version

Theorem sumsnf 11017
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11019 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnf.1  |-  F/_ k B
sumsnf.2  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumsnf  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    k, M    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem sumsnf
Dummy variables  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2240 . . . . 5  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 2985 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 2963 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 10970 . . . 4  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 2958 . . . . 5  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 8589 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5342 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 8932 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 9687 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5293 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3492 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 2961 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 sumsnf.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k B
2019a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
21 sumsnf.2 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2220, 21csbiegf 2993 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2322ad2antrr 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
24 simplr 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2523, 24eqeltrd 2176 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2618, 25eqeltrd 2176 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2722ad2antrr 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ M  / 
k ]_ A  =  B )
28 elfz1eq 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
2928fveq2d 5357 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
30 fvsng 5548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
316, 8, 30sylancr 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3229, 31sylan9eqr 2154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  =  M )
3332csbeq1d 2961 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3428fveq2d 5357 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
35 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
36 fvsng 5548 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 35, 36sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3834, 37sylan9eqr 2154 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  =  B )
3927, 33, 383eqtr4rd 2143 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
405, 7, 15, 26, 39fsum3 10995 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ) `
 1 ) )
414, 40syl5eq 2144 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n ) ,  0 ) ) ) `  1 ) )
42 1zzd 8933 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
43 eqid 2100 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) )
44 breq1 3878 . . . . . . 7  |-  ( n  =  u  ->  (
n  <_  1  <->  u  <_  1 ) )
45 fveq2 5353 . . . . . . 7  |-  ( n  =  u  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u ) )
4644, 45ifbieq1d 3441 . . . . . 6  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 )  =  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 ) )
47 elnnuz 9212 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847biimpri 132 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
4948adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  u  e.  NN )
50 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  <_  1 )
51 eluzle 9188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  u )
5251ad2antlr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  1  <_  u )
53 eluzelre 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  RR )
5453ad2antlr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  e.  RR )
55 1red 7653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  1  e.  RR )
5654, 55letri3d 7750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( u  =  1  <->  ( u  <_  1  /\  1  <_  u ) ) )
5750, 52, 56mpbir2and 896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  = 
1 )
5857fveq2d 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
) )
5937ad2antrr 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 )  =  B )
6058, 59eqtrd 2132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  =  B )
6135ad2antrr 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
6260, 61eqeltrd 2176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  e.  CC )
63 0cnd 7631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  1 )  ->  0  e.  CC )
6449nnzd 9024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  u  e.  ZZ )
65 1zzd 8933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 zdcle 8979 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  u  <_  1 )
6764, 65, 66syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
u  <_  1 )
6862, 63, 67ifcldadc 3448 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 )  e.  CC )
6943, 46, 49, 68fvmptd3 5446 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 ) )
7069, 68eqeltrd 2176 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  u )  e.  CC )
71 addcl 7617 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
7271adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
7342, 70, 72seq3-1 10074 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) ) `  1
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ` 
1 ) )
7441, 73eqtrd 2132 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ` 
1 ) )
75 1le1 8200 . . . . . 6  |-  1  <_  1
7675iftruei 3427 . . . . 5  |-  if ( 1  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  1
) ,  0 )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 )
7776, 37syl5eq 2144 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 )  =  B )
7877, 35eqeltrd 2176 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 )  e.  CC )
79 breq1 3878 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
n  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
80 fveq2 5353 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
8179, 80ifbieq1d 3441 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 )  =  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
8281, 43fvmptg 5429 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  1 )  =  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
836, 78, 82sylancr 408 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n ) ,  0 ) ) `
 1 )  =  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
8474, 83, 773eqtrd 2136 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 786    = wceq 1299    e. wcel 1448   F/_wnfc 2227   [_csb 2955   ifcif 3421   {csn 3474   <.cop 3477   class class class wbr 3875    |-> cmpt 3929   -1-1-onto->wf1o 5058   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501    + caddc 7503    <_ cle 7673   NNcn 8578   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   ...cfz 9631    seqcseq 10059   sum_csu 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-ihash 10363  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887  df-sumdc 10962
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11018  sumsn  11019
  Copyright terms: Public domain W3C validator