Theorem sumsnf 11350

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11352 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	|- F/_ k B
sumsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2308	. . . . 5 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3078	. . . . 5 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3054	. . . . 5 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvsumi 11303	. . . 4 |- sum_ k e. { M } A = sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3048	. . . . 5 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 8868	. . . . . 6 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> M e. V )
9		f1osng 5473	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10	6, 8, 9	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11		1z 9217	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
12		fzsn 10001	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13		f1oeq2 5422	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	10, 14	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16		elsni 3594	. . . . . . . 8 |- ( m e. { M } -> m = M )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> m = M )
18	17	csbeq1d 3052	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3088	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
25	23, 24	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
26	18, 25	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
27	22	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ M / k ]_ A = B )
28		elfz1eq 9970	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> n = 1 )
29	28	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
30		fvsng 5681	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
31	6, 8, 30	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	29, 31	sylan9eqr 2221	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = M )
33	32	csbeq1d 3052	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
34	28	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
35		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5681	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	6, 35, 36	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	34, 37	sylan9eqr 2221	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = B )
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11328	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
41	4, 40	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
42		1zzd 9218	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
43		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) )
44		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( n <_ 1 <-> u <_ 1 ) )
45		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` u ) )
46	44, 45	ifbieq1d 3542	. . . . . 6 |- ( n = u -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
47		elnnuz 9502	. . . . . . . 8 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	47	biimpri 132	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
49	48	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
50		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u <_ 1 )
51		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
52	51	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 <_ u )
53		eluzelre 9476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. RR )
54	53	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u e. RR )
55		1red 7914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 e. RR )
56	54, 55	letri3d 8014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( u = 1 <-> ( u <_ 1 /\ 1 <_ u ) ) )
57	50, 52, 56	mpbir2and 934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u = 1 )
58	57	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
59	37	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
60	58, 59	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = B )
61	35	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> B e. CC )
62	60, 61	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) e. CC )
63		0cnd 7892	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ 1 ) -> 0 e. CC )
64	49	nnzd 9312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
65		1zzd 9218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
66		zdcle 9267	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID u <_ 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ 1 )
68	62, 63, 67	ifcldadc 3549	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) e. CC )
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5579	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
70	69, 68	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
71		addcl 7878	. . . . 5 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
72	71	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
73	42, 70, 72	seq3-1 10395	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
74	41, 73	eqtrd 2198	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
75		1le1 8470	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
76	75	iftruei 3526	. . . . 5 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
77	76, 37	syl5eq 2211	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = B )
78	77, 35	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC )
79		breq1 3985	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
80		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
81	79, 80	ifbieq1d 3542	. . . 4 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
82	81, 43	fvmptg 5562	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
83	6, 78, 82	sylancr 411	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
84	74, 83, 77	3eqtrd 2202	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   F/_wnfc 2295   [_csb 3045   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11351  sumsn  11352