ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsnf Unicode version

Theorem sumsnf 11359
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11361 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnf.1  |-  F/_ k B
sumsnf.2  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumsnf  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    k, M    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem sumsnf
Dummy variables  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2312 . . . . 5  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3082 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3058 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 11312 . . . 4  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3052 . . . . 5  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 8876 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5481 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 412 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 9225 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 10009 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5430 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3599 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 sumsnf.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k B
2019a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
21 sumsnf.2 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2220, 21csbiegf 3092 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2322ad2antrr 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
24 simplr 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2523, 24eqeltrd 2247 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2618, 25eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2722ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ M  / 
k ]_ A  =  B )
28 elfz1eq 9978 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
2928fveq2d 5498 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
30 fvsng 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
316, 8, 30sylancr 412 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3229, 31sylan9eqr 2225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  =  M )
3332csbeq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3428fveq2d 5498 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
35 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
36 fvsng 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 35, 36sylancr 412 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3834, 37sylan9eqr 2225 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  =  B )
3927, 33, 383eqtr4rd 2214 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
405, 7, 15, 26, 39fsum3 11337 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ) `
 1 ) )
414, 40eqtrid 2215 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n ) ,  0 ) ) ) `  1 ) )
42 1zzd 9226 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
43 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) )
44 breq1 3990 . . . . . . 7  |-  ( n  =  u  ->  (
n  <_  1  <->  u  <_  1 ) )
45 fveq2 5494 . . . . . . 7  |-  ( n  =  u  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u ) )
4644, 45ifbieq1d 3547 . . . . . 6  |-  ( n  =  u  ->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 )  =  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 ) )
47 elnnuz 9510 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  NN  <->  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4847biimpri 132 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  NN )
4948adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  u  e.  NN )
50 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  <_  1 )
51 eluzle 9486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  u )
5251ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  1  <_  u )
53 eluzelre 9484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  RR )
5453ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  e.  RR )
55 1red 7922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  1  e.  RR )
5654, 55letri3d 8022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( u  =  1  <->  ( u  <_  1  /\  1  <_  u ) ) )
5750, 52, 56mpbir2and 939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  u  = 
1 )
5857fveq2d 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
) )
5937ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 )  =  B )
6058, 59eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  =  B )
6135ad2antrr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
6260, 61eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  <_  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 u )  e.  CC )
63 0cnd 7900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  <_  1 )  ->  0  e.  CC )
6449nnzd 9320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  u  e.  ZZ )
65 1zzd 9226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 zdcle 9275 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  u  <_  1 )
6764, 65, 66syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
u  <_  1 )
6862, 63, 67ifcldadc 3554 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 )  e.  CC )
6943, 46, 49, 68fvmptd3 5587 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  u )  =  if ( u  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  u ) ,  0 ) )
7069, 68eqeltrd 2247 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  u )  e.  CC )
71 addcl 7886 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
7271adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
7342, 70, 72seq3-1 10403 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) ) `  1
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ` 
1 ) )
7441, 73eqtrd 2203 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n ) ,  0 ) ) ` 
1 ) )
75 1le1 8478 . . . . . 6  |-  1  <_  1
7675iftruei 3531 . . . . 5  |-  if ( 1  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  1
) ,  0 )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 )
7776, 37eqtrid 2215 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 )  =  B )
7877, 35eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 )  e.  CC )
79 breq1 3990 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
n  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
80 fveq2 5494 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
8179, 80ifbieq1d 3547 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 )  =  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
8281, 43fvmptg 5570 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 , 
( { <. 1 ,  B >. } `  n
) ,  0 ) ) `  1 )  =  if ( 1  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
836, 78, 82sylancr 412 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  1 ,  ( { <. 1 ,  B >. } `  n ) ,  0 ) ) `
 1 )  =  if ( 1  <_ 
1 ,  ( {
<. 1 ,  B >. } `  1 ) ,  0 ) )
8474, 83, 773eqtrd 2207 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   [_csb 3049   ifcif 3525   {csn 3581   <.cop 3584   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762    + caddc 7764    <_ cle 7942   NNcn 8865   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952    seqcseq 10388   sum_csu 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11360  sumsn  11361
  Copyright terms: Public domain W3C validator