Theorem sumsnf 12050

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 12052 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	|- F/_ k B
sumsnf.2	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	|- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Distinct variable groups:   k, M   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables m n u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. . . . 5 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3161	. . . . 5 |- F/_ k [_ m / k ]_ A
3		csbeq1a 3137	. . . . 5 |- ( k = m -> A = [_ m / k ]_ A )
4	1, 2, 3	cbvsumi 12002	. . . 4 |- sum_ k e. { M } A = sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A
5		csbeq1 3131	. . . . 5 |- ( m = ( { <. 1 , M >. } ` n ) -> [_ m / k ]_ A = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
6		1nn 9213	. . . . . 6 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. NN )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> M e. V )
9		f1osng 5635	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11		1z 9566	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
12		fzsn 10363	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13		f1oeq2 5581	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 |- ( { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	10, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> { <. 1 , M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16		elsni 3691	. . . . . . . 8 |- ( m e. { M } -> m = M )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> m = M )
18	17	csbeq1d 3135	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k B
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( M e. V -> F/_ k B )
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = B )
22	20, 21	csbiegf 3172	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> [_ M / k ]_ A = B )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A = B )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> B e. CC )
25	23, 24	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
26	18, 25	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ m e. { M } ) -> [_ m / k ]_ A e. CC )
27	22	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ M / k ]_ A = B )
28		elfz1eq 10332	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> n = 1 )
29	28	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) )
30		fvsng 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. V ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
31	6, 8, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , M >. } ` 1 ) = M )
32	29, 31	sylan9eqr 2286	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , M >. } ` n ) = M )
33	32	csbeq1d 3135	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A = [_ M / k ]_ A )
34	28	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> B e. CC )
36		fvsng 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
37	6, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
38	34, 37	sylan9eqr 2286	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = B )
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2275	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ n e. ( 1 ... 1 ) ) -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = [_ ( { <. 1 , M >. } ` n ) / k ]_ A )
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 12028	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ m e. { M } [_ m / k ]_ A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
41	4, 40	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) )
42		1zzd 9567	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> 1 e. ZZ )
43		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) )
44		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( n <_ 1 <-> u <_ 1 ) )
45		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( n = u -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` u ) )
46	44, 45	ifbieq1d 3632	. . . . . 6 |- ( n = u -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
47		elnnuz 9854	. . . . . . . 8 |- ( u e. NN <-> u e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	47	biimpri 133	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. NN )
49	48	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. NN )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u <_ 1 )
51		eluzle 9829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ u )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 <_ u )
53		eluzelre 9827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. RR )
54	53	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u e. RR )
55		1red 8254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> 1 e. RR )
56	54, 55	letri3d 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( u = 1 <-> ( u <_ 1 /\ 1 <_ u ) ) )
57	50, 52, 56	mpbir2and 953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> u = 1 )
58	57	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
59	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
60	58, 59	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) = B )
61	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> B e. CC )
62	60, 61	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u <_ 1 ) -> ( { <. 1 , B >. } ` u ) e. CC )
63		0cnd 8232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u <_ 1 ) -> 0 e. CC )
64	49	nnzd 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
65		1zzd 9567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
66		zdcle 9617	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID u <_ 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u <_ 1 )
68	62, 63, 67	ifcldadc 3639	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) e. CC )
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5749	. . . . 5 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) = if ( u <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` u ) , 0 ) )
70	69, 68	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` u ) e. CC )
71		addcl 8217	. . . . 5 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
72	71	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. V /\ B e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
73	42, 70, 72	seq3-1 10787	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ) ` 1 ) = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
74	41, 73	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) )
75		1le1 8811	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
76	75	iftruei 3615	. . . . 5 |- if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 )
77	76, 37	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) = B )
78	77, 35	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC )
79		breq1 4096	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
80		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( { <. 1 , B >. } ` n ) = ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) )
81	79, 80	ifbieq1d 3632	. . . 4 |- ( n = 1 -> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
82	81, 43	fvmptg 5731	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
83	6, 78, 82	sylancr 414	. 2 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` n ) , 0 ) ) ` 1 ) = if ( 1 <_ 1 , ( { <. 1 , B >. } ` 1 ) , 0 ) )
84	74, 83, 77	3eqtrd 2268	1 |- ( ( M e. V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   F/_wnfc 2362   [_csb 3128   ifcif 3607   {csn 3673   <.cop 3676   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  12051  sumsn  12052