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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sumsnf | Unicode version |
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11019 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
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sumsnf.1 |
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sumsnf.2 |
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Ref | Expression |
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sumsnf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nfcv 2240 |
. . . . 5
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2 | nfcsb1v 2985 |
. . . . 5
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3 | csbeq1a 2963 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | cbvsumi 10970 |
. . . 4
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5 | csbeq1 2958 |
. . . . 5
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6 | 1nn 8589 |
. . . . . 6
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7 | 6 | a1i 9 |
. . . . 5
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8 | simpl 108 |
. . . . . . 7
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9 | f1osng 5342 |
. . . . . . 7
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10 | 6, 8, 9 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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11 | 1z 8932 |
. . . . . . 7
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12 | fzsn 9687 |
. . . . . . 7
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13 | f1oeq2 5293 |
. . . . . . 7
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14 | 11, 12, 13 | mp2b 8 |
. . . . . 6
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15 | 10, 14 | sylibr 133 |
. . . . 5
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16 | elsni 3492 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | csbeq1d 2961 |
. . . . . 6
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19 | sumsnf.1 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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21 | sumsnf.2 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | csbiegf 2993 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | ad2antrr 475 |
. . . . . . 7
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24 | simplr 500 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | eqeltrd 2176 |
. . . . . 6
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26 | 18, 25 | eqeltrd 2176 |
. . . . 5
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27 | 22 | ad2antrr 475 |
. . . . . 6
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28 | elfz1eq 9656 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | fveq2d 5357 |
. . . . . . . 8
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30 | fvsng 5548 |
. . . . . . . . 9
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31 | 6, 8, 30 | sylancr 408 |
. . . . . . . 8
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32 | 29, 31 | sylan9eqr 2154 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | csbeq1d 2961 |
. . . . . 6
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34 | 28 | fveq2d 5357 |
. . . . . . 7
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35 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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36 | fvsng 5548 |
. . . . . . . 8
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37 | 6, 35, 36 | sylancr 408 |
. . . . . . 7
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38 | 34, 37 | sylan9eqr 2154 |
. . . . . 6
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39 | 27, 33, 38 | 3eqtr4rd 2143 |
. . . . 5
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40 | 5, 7, 15, 26, 39 | fsum3 10995 |
. . . 4
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41 | 4, 40 | syl5eq 2144 |
. . 3
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42 | 1zzd 8933 |
. . . 4
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43 | eqid 2100 |
. . . . . 6
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44 | breq1 3878 |
. . . . . . 7
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45 | fveq2 5353 |
. . . . . . 7
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46 | 44, 45 | ifbieq1d 3441 |
. . . . . 6
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47 | elnnuz 9212 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | biimpri 132 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | adantl 273 |
. . . . . 6
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50 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | eluzle 9188 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 51 | ad2antlr 476 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | eluzelre 9186 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 53 | ad2antlr 476 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 1red 7653 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 54, 55 | letri3d 7750 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 50, 52, 56 | mpbir2and 896 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | fveq2d 5357 |
. . . . . . . . 9
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59 | 37 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59 | eqtrd 2132 |
. . . . . . . 8
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61 | 35 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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62 | 60, 61 | eqeltrd 2176 |
. . . . . . 7
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63 | 0cnd 7631 |
. . . . . . 7
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64 | 49 | nnzd 9024 |
. . . . . . . 8
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65 | 1zzd 8933 |
. . . . . . . 8
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66 | zdcle 8979 |
. . . . . . . 8
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67 | 64, 65, 66 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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68 | 62, 63, 67 | ifcldadc 3448 |
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69 | 43, 46, 49, 68 | fvmptd3 5446 |
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70 | 69, 68 | eqeltrd 2176 |
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71 | addcl 7617 |
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72 | 71 | adantl 273 |
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73 | 42, 70, 72 | seq3-1 10074 |
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74 | 41, 73 | eqtrd 2132 |
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75 | 1le1 8200 |
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76 | 75 | iftruei 3427 |
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77 | 76, 37 | syl5eq 2144 |
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78 | 77, 35 | eqeltrd 2176 |
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79 | breq1 3878 |
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80 | fveq2 5353 |
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81 | 79, 80 | ifbieq1d 3441 |
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82 | 81, 43 | fvmptg 5429 |
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83 | 6, 78, 82 | sylancr 408 |
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84 | 74, 83, 77 | 3eqtrd 2136 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-isom 5068 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-irdg 6197 df-frec 6218 df-1o 6243 df-oadd 6247 df-er 6359 df-en 6565 df-dom 6566 df-fin 6567 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-q 9262 df-rp 9292 df-fz 9632 df-fzo 9761 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-ihash 10363 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 df-clim 10887 df-sumdc 10962 |
This theorem is referenced by: fsumsplitsn 11018 sumsn 11019 |
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