Theorem cbvsum 11503

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvsum.2	|- F/_ k A
cbvsum.3	|- F/_ j A
cbvsum.4	|- F/_ k B
cbvsum.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvsum	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Proof of Theorem cbvsum

Dummy variables f m n u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.4	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k B
2		cbvsum.5	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j C
3		cbvsum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> B = C )
4	1, 2, 3	cbvcsb 3085	. . . . . . . . . 10 |- [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C
5		ifeq1 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C -> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 )
7	6	mpteq2i 4116	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8		seqeq3 10523	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
10	9	breq1i 4036	. . . . . 6 |- ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x )
11	10	3anbi3i 1194	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
12	11	rexbii 2501	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
13	1, 2, 3	cbvcsb 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
14		ifeq1 3560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 )
16	15	mpteq2i 4116	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
17		seqeq3 10523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
19	18	fveq1i 5555	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m )
20	19	eqeq2i 2204	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
21	20	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
22	21	exbii 1616	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
23	22	rexbii 2501	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
24	12, 23	orbi12i 765	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	iotabii 5238	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
26		df-sumdc 11497	. 2 |- sum_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
27		df-sumdc 11497	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
28	25, 26, 27	3eqtr4i 2224	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   A.wral 2472   E.wrex 2473   [_csb 3080   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   iotacio 5213   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   ~~> cli 11421   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-seqfrec 10519  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  cbvsumv  11504  cbvsumi  11505  fsumsplitf  11551