Theorem cbvsum 11323

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvsum.2	|- F/_ k A
cbvsum.3	|- F/_ j A
cbvsum.4	|- F/_ k B
cbvsum.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvsum	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Proof of Theorem cbvsum

Dummy variables f m n u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.4	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k B
2		cbvsum.5	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j C
3		cbvsum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> B = C )
4	1, 2, 3	cbvcsb 3054	. . . . . . . . . 10 |- [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C
5		ifeq1 3529	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C -> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 )
7	6	mpteq2i 4076	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8		seqeq3 10406	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
10	9	breq1i 3996	. . . . . 6 |- ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x )
11	10	3anbi3i 1187	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
12	11	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
13	1, 2, 3	cbvcsb 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
14		ifeq1 3529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 )
16	15	mpteq2i 4076	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
17		seqeq3 10406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
19	18	fveq1i 5497	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m )
20	19	eqeq2i 2181	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
21	20	anbi2i 454	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
22	21	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
23	22	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
24	12, 23	orbi12i 759	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	iotabii 5182	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
26		df-sumdc 11317	. 2 |- sum_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
27		df-sumdc 11317	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
28	25, 26, 27	3eqtr4i 2201	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   F/_wnfc 2299   A.wral 2448   E.wrex 2449   [_csb 3049   C_ wss 3121   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   iotacio 5158   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-seqfrec 10402  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  cbvsumv  11324  cbvsumi  11325  fsumsplitf  11371