Theorem cbvsum 11352

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvsum.2	|- F/_ k A
cbvsum.3	|- F/_ j A
cbvsum.4	|- F/_ k B
cbvsum.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvsum	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Proof of Theorem cbvsum

Dummy variables f m n u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.4	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k B
2		cbvsum.5	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j C
3		cbvsum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> B = C )
4	1, 2, 3	cbvcsb 3062	. . . . . . . . . 10 |- [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C
5		ifeq1 3537	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C -> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 )
7	6	mpteq2i 4087	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8		seqeq3 10436	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
10	9	breq1i 4007	. . . . . 6 |- ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x )
11	10	3anbi3i 1192	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
12	11	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
13	1, 2, 3	cbvcsb 3062	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
14		ifeq1 3537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 )
16	15	mpteq2i 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
17		seqeq3 10436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
19	18	fveq1i 5512	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m )
20	19	eqeq2i 2188	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
21	20	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
22	21	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
23	22	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
24	12, 23	orbi12i 764	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	iotabii 5196	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
26		df-sumdc 11346	. 2 |- sum_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
27		df-sumdc 11346	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
28	25, 26, 27	3eqtr4i 2208	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   iotacio 5172   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431   ~~> cli 11270   sum_csu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-recs 6300  df-frec 6386  df-seqfrec 10432  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  cbvsumv  11353  cbvsumi  11354  fsumsplitf  11400