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Theorem cbvsum 11097
Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvsum.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvsum.2  |-  F/_ k A
cbvsum.3  |-  F/_ j A
cbvsum.4  |-  F/_ k B
cbvsum.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvsum  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C

Proof of Theorem cbvsum
Dummy variables  f  m  n  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvsum.4 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k B
2 cbvsum.5 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j C
3 cbvsum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
41, 2, 3cbvcsb 2979 . . . . . . . . . 10  |-  [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
5 ifeq1 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 )
76mpteq2i 3985 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
8 seqeq3 10191 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
109breq1i 3906 . . . . . 6  |-  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )
11103anbi3i 1159 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1211rexbii 2419 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
131, 2, 3cbvcsb 2979 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
14 ifeq1 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 )
1615mpteq2i 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
17 seqeq3 10191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1918fveq1i 5390 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
)
2019eqeq2i 2128 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )
2120anbi2i 452 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2221exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2322rexbii 2419 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2412, 23orbi12i 738 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2524iotabii 5080 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
26 df-sumdc 11091 . 2  |-  sum_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
27 df-sumdc 11091 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2825, 26, 273eqtr4i 2148 1  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   F/_wnfc 2245   A.wral 2393   E.wrex 2394   [_csb 2975    C_ wss 3041   ifcif 3444   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   iotacio 5056   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    <_ cle 7769   NNcn 8688   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ...cfz 9758    seqcseq 10186    ~~> cli 11015   sum_csu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-seqfrec 10187  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  cbvsumv  11098  cbvsumi  11099  fsumsplitf  11145
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