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Theorem cbvsum 11334
Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvsum.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvsum.2  |-  F/_ k A
cbvsum.3  |-  F/_ j A
cbvsum.4  |-  F/_ k B
cbvsum.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvsum  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C

Proof of Theorem cbvsum
Dummy variables  f  m  n  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvsum.4 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k B
2 cbvsum.5 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j C
3 cbvsum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
41, 2, 3cbvcsb 3060 . . . . . . . . . 10  |-  [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
5 ifeq1 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 )
76mpteq2i 4085 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
8 seqeq3 10418 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
109breq1i 4005 . . . . . 6  |-  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )
11103anbi3i 1192 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1211rexbii 2482 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
131, 2, 3cbvcsb 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
14 ifeq1 3535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 )
1615mpteq2i 4085 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
17 seqeq3 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1918fveq1i 5508 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
)
2019eqeq2i 2186 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )
2120anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2221exbii 1603 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2322rexbii 2482 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2412, 23orbi12i 764 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2524iotabii 5192 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
26 df-sumdc 11328 . 2  |-  sum_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
27 df-sumdc 11328 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2825, 26, 273eqtr4i 2206 1  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   F/_wnfc 2304   A.wral 2453   E.wrex 2454   [_csb 3055    C_ wss 3127   ifcif 3532   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059   iotacio 5168   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    <_ cle 7967   NNcn 8890   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   ...cfz 9977    seqcseq 10413    ~~> cli 11252   sum_csu 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-frec 6382  df-seqfrec 10414  df-sumdc 11328
This theorem is referenced by:  cbvsumv  11335  cbvsumi  11336  fsumsplitf  11382
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