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Theorem cbvsum 11352
Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvsum.1  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
cbvsum.2  |-  F/_ k A
cbvsum.3  |-  F/_ j A
cbvsum.4  |-  F/_ k B
cbvsum.5  |-  F/_ j C
Assertion
Ref Expression
cbvsum  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C

Proof of Theorem cbvsum
Dummy variables  f  m  n  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvsum.4 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k B
2 cbvsum.5 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j C
3 cbvsum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  B  =  C )
41, 2, 3cbvcsb 3062 . . . . . . . . . 10  |-  [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
5 ifeq1 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ n  /  j ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 )
76mpteq2i 4087 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
8 seqeq3 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
109breq1i 4007 . . . . . 6  |-  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )
11103anbi3i 1192 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1211rexbii 2484 . . . 4  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
131, 2, 3cbvcsb 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
f `  n )  /  j ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C
14 ifeq1 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 )
1615mpteq2i 4087 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
17 seqeq3 10436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1918fveq1i 5512 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
)
2019eqeq2i 2188 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )
2120anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2221exbii 1605 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2322rexbii 2484 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
2412, 23orbi12i 764 . . 3  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2524iotabii 5196 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
26 df-sumdc 11346 . 2  |-  sum_ j  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  j ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  j ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
27 df-sumdc 11346 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2825, 26, 273eqtr4i 2208 1  |-  sum_ j  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057    C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   iotacio 5172   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995    seqcseq 10431    ~~> cli 11270   sum_csu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-recs 6300  df-frec 6386  df-seqfrec 10432  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  cbvsumv  11353  cbvsumi  11354  fsumsplitf  11400
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