Theorem cbvsum 11920

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvsum.2	|- F/_ k A
cbvsum.3	|- F/_ j A
cbvsum.4	|- F/_ k B
cbvsum.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvsum	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Proof of Theorem cbvsum

Dummy variables f m n u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.4	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k B
2		cbvsum.5	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j C
3		cbvsum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> B = C )
4	1, 2, 3	cbvcsb 3132	. . . . . . . . . 10 |- [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C
5		ifeq1 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( [_ n / j ]_ B = [_ n / k ]_ C -> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 )
7	6	mpteq2i 4176	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8		seqeq3 10713	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
10	9	breq1i 4095	. . . . . 6 |- ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x )
11	10	3anbi3i 1218	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
12	11	rexbii 2539	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
13	1, 2, 3	cbvcsb 3132	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
14		ifeq1 3608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 )
16	15	mpteq2i 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
17		seqeq3 10713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
19	18	fveq1i 5640	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m )
20	19	eqeq2i 2242	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) )
21	20	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
22	21	exbii 1653	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
23	22	rexbii 2539	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) )
24	12, 23	orbi12i 771	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
25	24	iotabii 5310	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
26		df-sumdc 11914	. 2 |- sum_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / j ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / j ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
27		df-sumdc 11914	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. u e. ( ZZ>= ` m )DECID u e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
28	25, 26, 27	3eqtr4i 2262	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   F/_wnfc 2361   A.wral 2510   E.wrex 2511   [_csb 3127   C_ wss 3200   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   iotacio 5284   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   NNcn 9142   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708   ~~> cli 11838   sum_csu 11913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-seqfrec 10709  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  cbvsumv  11921  cbvsumi  11922  fsumsplitf  11968