Theorem cbvsumv 11833

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2350	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2350	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2350	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2350	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11832	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   sum_csu 11825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-if 3581  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-cnv 4702  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-recs 6416  df-frec 6502  df-seqfrec 10632  df-sumdc 11826

This theorem is referenced by:  isumge0  11902  telfsumo  11938  fsumparts  11942  binomlem  11955  mertenslemi1  12007  mertenslem2  12008  mertensabs  12009  efaddlem  12146  plymullem1  15381  plyadd  15384  plymul  15385  plycoeid3  15390  plyco  15392  plycj  15394  dvply1  15398  trilpo  16292  redcwlpo  16304  nconstwlpo  16315  neapmkv  16317