Theorem cbvsumv 11942

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2374	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2374	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2374	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2374	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11941	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   sum_csu 11934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-recs 6474  df-frec 6560  df-seqfrec 10714  df-sumdc 11935

This theorem is referenced by:  isumge0  12012  telfsumo  12048  fsumparts  12052  binomlem  12065  mertenslemi1  12117  mertenslem2  12118  mertensabs  12119  efaddlem  12256  plymullem1  15499  plyadd  15502  plymul  15503  plycoeid3  15508  plyco  15510  plycj  15512  dvply1  15516  trilpo  16706  redcwlpo  16719  nconstwlpo  16730  neapmkv  16732