Theorem cbvsumv 12050

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2386	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2386	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2386	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2386	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 12049	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   sum_csu 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-cnv 4759  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-seqfrec 10814  df-sumdc 12043

This theorem is referenced by:  isumge0  12120  telfsumo  12156  fsumparts  12160  binomlem  12173  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  efaddlem  12364  plymullem1  15630  plyadd  15633  plymul  15634  plycoeid3  15639  plyco  15641  plycj  15643  dvply1  15647  trilpo  16844  redcwlpo  16857  nconstwlpo  16869  neapmkv  16871