Theorem cbvsumv 11922

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2374	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2374	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2374	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2374	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11921	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   sum_csu 11914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-seqfrec 10710  df-sumdc 11915

This theorem is referenced by:  isumge0  11992  telfsumo  12028  fsumparts  12032  binomlem  12045  mertenslemi1  12097  mertenslem2  12098  mertensabs  12099  efaddlem  12236  plymullem1  15474  plyadd  15477  plymul  15478  plycoeid3  15483  plyco  15485  plycj  15487  dvply1  15491  trilpo  16650  redcwlpo  16662  nconstwlpo  16673  neapmkv  16675