Theorem cbvsumv 12145

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2392	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2392	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 12144	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   sum_csu 12137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-seqfrec 10899  df-sumdc 12138

This theorem is used by:  isumge0  12215  telfsumo  12251  fsumparts  12255  binomlem  12268  mertenslemi1  12320  mertenslem2  12321  mertensabs  12322  efaddlem  12459  plymullem1  15901  plyadd  15904  plymul  15905  plycoeid3  15910  plyco  15912  plycj  15914  dvply1  15918  trilpo  17214  redcwlpo  17227  nconstwlpo  17238  neapmkv  17240