Theorem cbvsumv 12110

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j

Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2392	. 2 |- F/_ j A
4		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k B
5		nfcv 2392	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 12109	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   sum_csu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-seqfrec 10868  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  isumge0  12180  telfsumo  12216  fsumparts  12220  binomlem  12233  mertenslemi1  12285  mertenslem2  12286  mertensabs  12287  efaddlem  12424  plymullem1  15832  plyadd  15835  plymul  15836  plycoeid3  15841  plyco  15843  plycj  15845  dvply1  15849  trilpo  17066  redcwlpo  17079  nconstwlpo  17090  neapmkv  17092