ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumfct Unicode version

Theorem sumfct 11035
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
sumfct  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem sumfct
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
2 nfcsb1v 3001 . . . . . . 7  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
32nfel1 2266 . . . . . 6  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
4 csbeq1a 2979 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
54eleq1d 2183 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
63, 5rspc 2754 . . . . 5  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
76impcom 124 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
8 eqid 2115 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
98fvmpts 5453 . . . 4  |-  ( ( j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  [_ j  /  k ]_ B
)
101, 7, 9syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ B
)
1110sumeq2dv 11029 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B )
12 nfcv 2255 . . 3  |-  F/_ j B
1312, 2, 4cbvsumi 11023 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B
1411, 13syl6eqr 2165 1  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   [_csb 2971    |-> cmpt 3949   ` cfv 5081   CCcc 7545   sum_csu 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-seqfrec 10112  df-sumdc 11015
This theorem is referenced by:  fsumf1o  11051  isumss  11052  fisumss  11053  fsumcl2lem  11059  fsumadd  11067  isumclim3  11084  isummulc2  11087  fsummulc2  11109  isumshft  11151
  Copyright terms: Public domain W3C validator