ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumfct Unicode version

Theorem sumfct 11353
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
sumfct  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem sumfct
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
2 nfcsb1v 3090 . . . . . . 7  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
32nfel1 2330 . . . . . 6  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
4 csbeq1a 3066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
54eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
63, 5rspc 2835 . . . . 5  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
76impcom 125 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
8 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
98fvmpts 5589 . . . 4  |-  ( ( j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  [_ j  /  k ]_ B
)
101, 7, 9syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ B
)
1110sumeq2dv 11347 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B )
12 nfcv 2319 . . 3  |-  F/_ j B
1312, 2, 4cbvsumi 11341 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B
1411, 13eqtr4di 2228 1  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057    |-> cmpt 4061   ` cfv 5211   CCcc 7787   sum_csu 11332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-seqfrec 10419  df-sumdc 11333
This theorem is referenced by:  fsumf1o  11369  isumss  11370  fisumss  11371  fsumcl2lem  11377  fsumadd  11385  isumclim3  11402  isummulc2  11405  fsummulc2  11427  isumshft  11469
  Copyright terms: Public domain W3C validator