Theorem sumfct 11384

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sumfct	|- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem sumfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> j e. A )
2		nfcsb1v 3092	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3	2	nfel1 2330	. . . . . 6 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
4		csbeq1a 3068	. . . . . . 7 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
5	4	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
6	3, 5	rspc 2837	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
7	6	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
8		eqid 2177	. . . . 5 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	8	fvmpts 5596	. . . 4 |- ( ( j e. A /\ [_ j / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
11	10	sumeq2dv 11378	. 2 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ j e. A [_ j / k ]_ B )
12		nfcv 2319	. . 3 |- F/_ j B
13	12, 2, 4	cbvsumi 11372	. 2 |- sum_ k e. A B = sum_ j e. A [_ j / k ]_ B
14	11, 13	eqtr4di 2228	1 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3059   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218   CCcc 7811   sum_csu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by:  fsumf1o  11400  isumss  11401  fisumss  11402  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  isumclim3  11433  isummulc2  11436  fsummulc2  11458  isumshft  11500