ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumfct Unicode version

Theorem sumfct 11098
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
sumfct  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem sumfct
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
2 nfcsb1v 3005 . . . . . . 7  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
32nfel1 2269 . . . . . 6  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
4 csbeq1a 2983 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
54eleq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
63, 5rspc 2757 . . . . 5  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
76impcom 124 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
8 eqid 2117 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
98fvmpts 5467 . . . 4  |-  ( ( j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  [_ j  /  k ]_ B
)
101, 7, 9syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ B
)
1110sumeq2dv 11092 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B )
12 nfcv 2258 . . 3  |-  F/_ j B
1312, 2, 4cbvsumi 11086 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B
1411, 13syl6eqr 2168 1  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   [_csb 2975    |-> cmpt 3959   ` cfv 5093   CCcc 7586   sum_csu 11077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746  df-seqfrec 10174  df-sumdc 11078
This theorem is referenced by:  fsumf1o  11114  isumss  11115  fisumss  11116  fsumcl2lem  11122  fsumadd  11130  isumclim3  11147  isummulc2  11150  fsummulc2  11172  isumshft  11214
  Copyright terms: Public domain W3C validator