Theorem sumfct 12084

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sumfct	|- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem sumfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> j e. A )
2		nfcsb1v 3174	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3	2	nfel1 2397	. . . . . 6 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
4		csbeq1a 3150	. . . . . . 7 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
5	4	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
6	3, 5	rspc 2917	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
7	6	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
8		eqid 2234	. . . . 5 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	8	fvmpts 5760	. . . 4 |- ( ( j e. A /\ [_ j / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
11	10	sumeq2dv 12078	. 2 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ j e. A [_ j / k ]_ B )
12		nfcv 2386	. . 3 |- F/_ j B
13	12, 2, 4	cbvsumi 12072	. 2 |- sum_ k e. A B = sum_ j e. A [_ j / k ]_ B
14	11, 13	eqtr4di 2285	1 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357   CCcc 8141   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  fsumf1o  12101  isumss  12102  fisumss  12103  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  isumclim3  12134  isummulc2  12137  fsummulc2  12159  isumshft  12201