Theorem isumss2 11194

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set A and the added zeroes compose the rest of the containing set B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	|- ( ph -> A C_ B )
isumss2.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
isumss2.c	|- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
isumss2.b	|- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
isumss2	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Distinct variable groups:   A, j   A, k   B, j   B, k   j, M

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   C( j, k)   M( k)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables a m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A C_ B )
3		isumss2.c	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
4		iftrue 3484	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
6		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
7	6	nfel1 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
8		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
9	8	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
10	7, 9	rspc 2787	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
11	10	impcom 124	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
12	5, 11	eqeltrd 2217	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
13	3, 12	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
14	13	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
15		eldifn 3204	. . . . . 6 |- ( m e. ( B \ A ) -> -. m e. A )
16	15	iffalsed 3489	. . . . 5 |- ( m e. ( B \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
17	16	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
20		eleq1w 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
21	20	dcbid 824	. . . . . . . . . 10 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
22	21	cbvralv 2657	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. B DECID j e. A <-> A. a e. B DECID a e. A )
23	19, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. B DECID a e. A )
24	23	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
25	24	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
26	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
27	26	ssneld 3104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. a e. B -> -. a e. A ) )
28	27	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> -. a e. A )
29	28	olcd 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
30		df-dc 821	. . . . . . 7 |- (DECID a e. A <-> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
31	29, 30	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> DECID a e. A )
32		eleq1w 2201	. . . . . . . . 9 |- ( j = a -> ( j e. B <-> a e. B ) )
33	32	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( j = a -> (DECID j e. B <-> DECID a e. B ) )
34		simplr3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
35		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 34, 35	rspcdva 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. B )
37		exmiddc 822	. . . . . . 7 |- (DECID a e. B -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
39	25, 31, 38	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
40	39	ralrimiva 2508	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
41		simpr1 988	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> M e. ZZ )
42		simpr2 989	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
43		simpr3 990	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
44	33	cbvralv 2657	. . . . 5 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
45	43, 44	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11192	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
47	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A C_ B )
48	13	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
49	16	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
50	18	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A. j e. B DECID j e. A )
51		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11193	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
53		isumss2.b	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )
54	46, 52, 53	mpjaodan 788	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
55		iftrue 3484	. . . 4 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
56	55	sumeq2i 11165	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ k e. A C
57		nfcv 2282	. . . 4 |- F/_ m if ( k e. A , C , 0 )
58		nfv 1509	. . . . 5 |- F/ k m e. A
59		nfcv 2282	. . . . 5 |- F/_ k 0
60	58, 6, 59	nfif 3505	. . . 4 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
61		eleq1w 2201	. . . . 5 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
62	61, 8	ifbieq1d 3499	. . . 4 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
63	57, 60, 62	cbvsumi 11163	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
64	56, 63	eqtr3i 2163	. 2 |- sum_ k e. A C = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
65	57, 60, 62	cbvsumi 11163	. 2 |- sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2198	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   [_csb 3007   \ cdif 3073   C_ wss 3076   ifcif 3479   ` cfv 5131   Fincfn 6642   CCcc 7642   0cc0 7644   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11208  sumsplitdc  11233  isumlessdc  11297