Theorem isumss2 11953

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set A and the added zeroes compose the rest of the containing set B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	|- ( ph -> A C_ B )
isumss2.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
isumss2.c	|- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
isumss2.b	|- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
isumss2	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Distinct variable groups:   A, j   A, k   B, j   B, k   j, M

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   C( j, k)   M( k)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables a m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A C_ B )
3		isumss2.c	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
4		iftrue 3610	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
6		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
7	6	nfel1 2385	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
8		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
9	8	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
10	7, 9	rspc 2904	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
12	5, 11	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
14	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
15		eldifn 3330	. . . . . 6 |- ( m e. ( B \ A ) -> -. m e. A )
16	15	iffalsed 3615	. . . . 5 |- ( m e. ( B \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
17	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
20		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
21	20	dcbid 845	. . . . . . . . . 10 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
22	21	cbvralv 2767	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. B DECID j e. A <-> A. a e. B DECID a e. A )
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. B DECID a e. A )
24	23	r19.21bi 2620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
27	26	ssneld 3229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. a e. B -> -. a e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> -. a e. A )
29	28	olcd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
30		df-dc 842	. . . . . . 7 |- (DECID a e. A <-> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> DECID a e. A )
32		eleq1w 2292	. . . . . . . . 9 |- ( j = a -> ( j e. B <-> a e. B ) )
33	32	dcbid 845	. . . . . . . 8 |- ( j = a -> (DECID j e. B <-> DECID a e. B ) )
34		simplr3 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 34, 35	rspcdva 2915	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. B )
37		exmiddc 843	. . . . . . 7 |- (DECID a e. B -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
39	25, 31, 38	mpjaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
40	39	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
41		simpr1 1029	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> M e. ZZ )
42		simpr2 1030	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
43		simpr3 1031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
44	33	cbvralv 2767	. . . . 5 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11951	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
47	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A C_ B )
48	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
49	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
50	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A. j e. B DECID j e. A )
51		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11952	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
53		isumss2.b	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )
54	46, 52, 53	mpjaodan 805	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
55		iftrue 3610	. . . 4 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
56	55	sumeq2i 11924	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ k e. A C
57		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ m if ( k e. A , C , 0 )
58		nfv 1576	. . . . 5 |- F/ k m e. A
59		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ k 0
60	58, 6, 59	nfif 3634	. . . 4 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
61		eleq1w 2292	. . . . 5 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
62	61, 8	ifbieq1d 3628	. . . 4 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
63	57, 60, 62	cbvsumi 11922	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
64	56, 63	eqtr3i 2254	. 2 |- sum_ k e. A C = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
65	57, 60, 62	cbvsumi 11922	. 2 |- sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2289	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   [_csb 3127   \ cdif 3197   C_ wss 3200   ifcif 3605   ` cfv 5326   Fincfn 6908   CCcc 8029   0cc0 8031   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   sum_csu 11913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11967  sumsplitdc  11992  isumlessdc  12056  sumhashdc  12919