Theorem isumss2 11404

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set A and the added zeroes compose the rest of the containing set B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	|- ( ph -> A C_ B )
isumss2.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
isumss2.c	|- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
isumss2.b	|- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
isumss2	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Distinct variable groups:   A, j   A, k   B, j   B, k   j, M

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   C( j, k)   M( k)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables a m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A C_ B )
3		isumss2.c	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
4		iftrue 3541	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
6		nfcsb1v 3092	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
7	6	nfel1 2330	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
8		csbeq1a 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
9	8	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
10	7, 9	rspc 2837	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
12	5, 11	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
14	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
15		eldifn 3260	. . . . . 6 |- ( m e. ( B \ A ) -> -. m e. A )
16	15	iffalsed 3546	. . . . 5 |- ( m e. ( B \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
17	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
20		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
21	20	dcbid 838	. . . . . . . . . 10 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
22	21	cbvralv 2705	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. B DECID j e. A <-> A. a e. B DECID a e. A )
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. B DECID a e. A )
24	23	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
27	26	ssneld 3159	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. a e. B -> -. a e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> -. a e. A )
29	28	olcd 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
30		df-dc 835	. . . . . . 7 |- (DECID a e. A <-> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> DECID a e. A )
32		eleq1w 2238	. . . . . . . . 9 |- ( j = a -> ( j e. B <-> a e. B ) )
33	32	dcbid 838	. . . . . . . 8 |- ( j = a -> (DECID j e. B <-> DECID a e. B ) )
34		simplr3 1041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 34, 35	rspcdva 2848	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. B )
37		exmiddc 836	. . . . . . 7 |- (DECID a e. B -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
39	25, 31, 38	mpjaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
40	39	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
41		simpr1 1003	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> M e. ZZ )
42		simpr2 1004	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
43		simpr3 1005	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
44	33	cbvralv 2705	. . . . 5 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11402	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
47	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A C_ B )
48	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
49	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
50	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A. j e. B DECID j e. A )
51		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11403	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
53		isumss2.b	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )
54	46, 52, 53	mpjaodan 798	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
55		iftrue 3541	. . . 4 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
56	55	sumeq2i 11375	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ k e. A C
57		nfcv 2319	. . . 4 |- F/_ m if ( k e. A , C , 0 )
58		nfv 1528	. . . . 5 |- F/ k m e. A
59		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ k 0
60	58, 6, 59	nfif 3564	. . . 4 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
61		eleq1w 2238	. . . . 5 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
62	61, 8	ifbieq1d 3558	. . . 4 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
63	57, 60, 62	cbvsumi 11373	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
64	56, 63	eqtr3i 2200	. 2 |- sum_ k e. A C = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
65	57, 60, 62	cbvsumi 11373	. 2 |- sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2235	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3059   \ cdif 3128   C_ wss 3131   ifcif 3536   ` cfv 5218   Fincfn 6743   CCcc 7812   0cc0 7814   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531   sum_csu 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11418  sumsplitdc  11443  isumlessdc  11507  sumhashdc  12348