ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumss2 Unicode version

Theorem isumss2 11433
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set  A and the added zeroes compose the rest of the containing set  B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isumss2.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
isumss2.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
isumss2.c  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
isumss2.b  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )  \/  B  e.  Fin ) )
Assertion
Ref Expression
isumss2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Distinct variable groups:    A, j    A, k    B, j    B, k   
j, M
Allowed substitution hints:    ph( j, k)    C( j, k)    M( k)

Proof of Theorem isumss2
Dummy variables  a  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumss2.ss . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A  C_  B )
3 isumss2.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
4 iftrue 3554 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
54adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
6 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
76nfel1 2343 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
8 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
98eleq1d 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
107, 9rspc 2850 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
1110impcom 125 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
125, 11eqeltrd 2266 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
133, 12sylan 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
1413adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
15 eldifn 3273 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
1615iffalsed 3559 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1716adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
18 isumss2.adc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
20 eleq1w 2250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  a  ->  (
j  e.  A  <->  a  e.  A ) )
2120dcbid 839 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  a  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  a  e.  A )
)
2221cbvralv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  B DECID  j  e.  A 
<-> 
A. a  e.  B DECID  a  e.  A )
2319, 22sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A. a  e.  B DECID  a  e.  A )
2423r19.21bi 2578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  B )  -> DECID  a  e.  A )
2524adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  B )  -> DECID  a  e.  A
)
262adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A  C_  B )
2726ssneld 3172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( -.  a  e.  B  ->  -.  a  e.  A ) )
2827imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  a  e.  B )  ->  -.  a  e.  A )
2928olcd 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  a  e.  B )  ->  (
a  e.  A  \/  -.  a  e.  A
) )
30 df-dc 836 . . . . . . 7  |-  (DECID  a  e.  A  <->  ( a  e.  A  \/  -.  a  e.  A ) )
3129, 30sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  a  e.  B )  -> DECID  a  e.  A
)
32 eleq1w 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  a  ->  (
j  e.  B  <->  a  e.  B ) )
3332dcbid 839 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  a  ->  (DECID  j  e.  B  <-> DECID  a  e.  B )
)
34 simplr3 1043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  j  e.  B )
35 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
a  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3633, 34, 35rspcdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  a  e.  B )
37 exmiddc 837 . . . . . . 7  |-  (DECID  a  e.  B  ->  ( a  e.  B  \/  -.  a  e.  B )
)
3836, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( a  e.  B  \/  -.  a  e.  B
) )
3925, 31, 38mpjaodan 799 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  a  e.  A )
4039ralrimiva 2563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A. a  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  a  e.  A )
41 simpr1 1005 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
42 simpr2 1006 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M
) )
43 simpr3 1007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  j  e.  B )
4433cbvralv 2718 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B  <->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  B )
4543, 44sylib 122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  A. a  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  a  e.  B )
462, 14, 17, 40, 41, 42, 45isumss 11431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B ) )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
471adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  A  C_  B )
4813adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
4916adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
5018adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A
)
51 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e. 
Fin )
5247, 48, 49, 50, 51fisumss 11432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  sum_ m  e.  A  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
53 isumss2.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  B )  \/  B  e.  Fin ) )
5446, 52, 53mpjaodan 799 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
55 iftrue 3554 . . . 4  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5655sumeq2i 11404 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  A  C
57 nfcv 2332 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
58 nfv 1539 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
59 nfcv 2332 . . . . 5  |-  F/_ k
0
6058, 6, 59nfif 3577 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
61 eleq1w 2250 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
6261, 8ifbieq1d 3571 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
6357, 60, 62cbvsumi 11402 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
6456, 63eqtr3i 2212 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
6557, 60, 62cbvsumi 11402 . 2  |-  sum_ k  e.  B  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
6654, 64, 653eqtr4g 2247 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   [_csb 3072    \ cdif 3141    C_ wss 3144   ifcif 3549   ` cfv 5235   Fincfn 6766   CCcc 7839   0cc0 7841   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   sum_csu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  fsumsplit  11447  sumsplitdc  11472  isumlessdc  11536  sumhashdc  12379
  Copyright terms: Public domain W3C validator