Theorem isumss2 11919

Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. The nonzero elements are in the contained set A and the added zeroes compose the rest of the containing set B which needs to be summable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumss2.ss	|- ( ph -> A C_ B )
isumss2.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
isumss2.c	|- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
isumss2.b	|- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
isumss2	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Distinct variable groups:   A, j   A, k   B, j   B, k   j, M

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   C( j, k)   M( k)

Proof of Theorem isumss2

Dummy variables a m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumss2.ss	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A C_ B )
3		isumss2.c	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
4		iftrue 3607	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = [_ m / k ]_ C )
6		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
7	6	nfel1 2383	. . . . . . . . 9 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
8		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
9	8	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
10	7, 9	rspc 2901	. . . . . . . 8 |- ( m e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
11	10	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
12	5, 11	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A C e. CC /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
13	3, 12	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
14	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
15		eldifn 3327	. . . . . 6 |- ( m e. ( B \ A ) -> -. m e. A )
16	15	iffalsed 3612	. . . . 5 |- ( m e. ( B \ A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
17	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
18		isumss2.adc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
20		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
21	20	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
22	21	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. B DECID j e. A <-> A. a e. B DECID a e. A )
23	19, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. B DECID a e. A )
24	23	r19.21bi 2618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. B ) -> DECID a e. A )
26	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
27	26	ssneld 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. a e. B -> -. a e. A ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> -. a e. A )
29	28	olcd 739	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
30		df-dc 840	. . . . . . 7 |- (DECID a e. A <-> ( a e. A \/ -. a e. A ) )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. B ) -> DECID a e. A )
32		eleq1w 2290	. . . . . . . . 9 |- ( j = a -> ( j e. B <-> a e. B ) )
33	32	dcbid 843	. . . . . . . 8 |- ( j = a -> (DECID j e. B <-> DECID a e. B ) )
34		simplr3 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> a e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 34, 35	rspcdva 2912	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. B )
37		exmiddc 841	. . . . . . 7 |- (DECID a e. B -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( a e. B \/ -. a e. B ) )
39	25, 31, 38	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
40	39	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
41		simpr1 1027	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> M e. ZZ )
42		simpr2 1028	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
43		simpr3 1029	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B )
44	33	cbvralv 2765	. . . . 5 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
45	43, 44	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. B )
46	2, 14, 17, 40, 41, 42, 45	isumss 11917	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
47	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A C_ B )
48	13	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) e. CC )
49	16	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B e. Fin ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = 0 )
50	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> A. j e. B DECID j e. A )
51		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
52	47, 48, 49, 50, 51	fisumss 11918	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. Fin ) -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
53		isumss2.b	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ B C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. B ) \/ B e. Fin ) )
54	46, 52, 53	mpjaodan 803	. 2 |- ( ph -> sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
55		iftrue 3607	. . . 4 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
56	55	sumeq2i 11890	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ k e. A C
57		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ m if ( k e. A , C , 0 )
58		nfv 1574	. . . . 5 |- F/ k m e. A
59		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ k 0
60	58, 6, 59	nfif 3631	. . . 4 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
61		eleq1w 2290	. . . . 5 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
62	61, 8	ifbieq1d 3625	. . . 4 |- ( k = m -> if ( k e. A , C , 0 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 ) )
63	57, 60, 62	cbvsumi 11888	. . 3 |- sum_ k e. A if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
64	56, 63	eqtr3i 2252	. 2 |- sum_ k e. A C = sum_ m e. A if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
65	57, 60, 62	cbvsumi 11888	. 2 |- sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) = sum_ m e. B if ( m e. A , [_ m / k ]_ C , 0 )
66	54, 64, 65	3eqtr4g 2287	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B if ( k e. A , C , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   \ cdif 3194   C_ wss 3197   ifcif 3602   ` cfv 5318   Fincfn 6895   CCcc 8008   0cc0 8010   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   sum_csu 11879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880

This theorem is referenced by:  fsumsplit  11933  sumsplitdc  11958  isumlessdc  12022  sumhashdc  12885