Theorem cbvsumi 11303

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvsumi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvsumi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2308	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvsumi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvsumi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11301	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  Ⅎwnfc 2295  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-seqfrec 10381  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  sumfct  11315  isumss2  11334  fsumzcl2  11346  fsumsplitf  11349  sumsnf  11350  sumsns  11356  fsumsplitsnun  11360  fsum2dlemstep  11375  fisumcom2  11379  fsumshftm  11386  fsumiun  11418