Theorem cbvsumi 11927

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvsumi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvsumi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2374	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2374	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvsumi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvsumi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11925	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  Ⅎwnfc 2361  Σcsu 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-seqfrec 10711  df-sumdc 11919

This theorem is referenced by:  sumfct  11939  isumss2  11959  fsumzcl2  11971  fsumsplitf  11974  sumsnf  11975  sumsns  11981  fsumsplitsnun  11985  fsum2dlemstep  12000  fisumcom2  12004  fsumshftm  12011  fsumiun  12043  elplyd  15471  fsumdvdsmul  15721