Theorem cndsex 14629

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	|- ( abs o. - ) e. _V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11620	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
2		cnex 8199	. . . 4 |- CC e. _V
3	2	mptex 5890	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2304	. 2 |- abs e. _V
5		df-sub 8395	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	2, 2	mpoex 6388	. . 3 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) ) e. _V
7	5, 6	eqeltri 2304	. 2 |- - e. _V
8	4, 7	coex 5289	1 |- ( abs o. - ) e. _V

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   ` cfv 5333   iota_crio 5980  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8073   + caddc 8078   x. cmul 8080   - cmin 8393   *ccj 11460   sqrcsqrt 11617   abscabs 11618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-sub 8395  df-abs 11620

This theorem is referenced by:  cntopex  14630  cnfldstr  14634  cnfldds  14644