Theorem cndsex 14502

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	|- ( abs o. - ) e. _V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11496	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
2		cnex 8111	. . . 4 |- CC e. _V
3	2	mptex 5858	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2302	. 2 |- abs e. _V
5		df-sub 8307	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	2, 2	mpoex 6350	. . 3 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) ) e. _V
7	5, 6	eqeltri 2302	. 2 |- - e. _V
8	4, 7	coex 5270	1 |- ( abs o. - ) e. _V

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4144   o. ccom 4720   ` cfv 5314   iota_crio 5946  (class class class)co 5994   e. cmpo 5996   CCcc 7985   + caddc 7990   x. cmul 7992   - cmin 8305   *ccj 11336   sqrcsqrt 11493   abscabs 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-sub 8307  df-abs 11496

This theorem is referenced by:  cntopex  14503  cnfldstr  14507  cnfldds  14517