Theorem cndsex 14873

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	|- ( abs o. - ) e. _V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11748	. . 3 |- abs = ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) )
2		cnex 8297	. . . 4 |- CC e. _V
3	2	mptex 5937	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( sqr ` ( x x. ( * ` x ) ) ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. 2 |- abs e. _V
5		df-sub 8493	. . 3 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) )
6	2, 2	mpoex 6444	. . 3 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( iota_ z e. CC ( y + z ) = x ) ) e. _V
7	5, 6	eqeltri 2311	. 2 |- - e. _V
8	4, 7	coex 5331	1 |- ( abs o. - ) e. _V

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   ` cfv 5375   iota_crio 6031  (class class class)co 6079   e. cmpo 6081   CCcc 8171   + caddc 8176   x. cmul 8178   - cmin 8491   *ccj 11587   sqrcsqrt 11745   abscabs 11746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-abs 11748

This theorem is referenced by:  cntopex  14874  cnfldstr  14878  cnfldds  14888