Theorem cndsex 14109

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11164	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		cnex 8003	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	mptex 5788	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥)))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2269	. 2 ⊢ abs ∈ V
5		df-sub 8199	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	2, 2	mpoex 6272	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥)) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2269	. 2 ⊢ − ∈ V
8	4, 7	coex 5215	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4094   ∘ ccom 4667  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℂcc 7877   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197  ∗ccj 11004  √csqrt 11161  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-sub 8199  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  cntopex  14110  cnfldstr  14114  cnfldds  14124