Theorem cndsex 14570

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11561	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		cnex 8156	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	mptex 5880	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥)))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2304	. 2 ⊢ abs ∈ V
5		df-sub 8352	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	2, 2	mpoex 6379	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥)) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2304	. 2 ⊢ − ∈ V
8	4, 7	coex 5282	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ↦ cmpt 4150   ∘ ccom 4729  ‘cfv 5326  ℩crio 5970  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  ℂcc 8030   + caddc 8035   · cmul 8037   − cmin 8350  ∗ccj 11401  √csqrt 11558  abscabs 11559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-abs 11561

This theorem is referenced by:  cntopex  14571  cnfldstr  14575  cnfldds  14585