Theorem cndsex 14525

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11518	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		cnex 8131	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	mptex 5869	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥)))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2302	. 2 ⊢ abs ∈ V
5		df-sub 8327	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	2, 2	mpoex 6366	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥)) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2302	. 2 ⊢ − ∈ V
8	4, 7	coex 5274	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4145   ∘ ccom 4723  ‘cfv 5318  ℩crio 5959  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  ℂcc 8005   + caddc 8010   · cmul 8012   − cmin 8325  ∗ccj 11358  √csqrt 11515  abscabs 11516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sub 8327  df-abs 11518

This theorem is referenced by:  cntopex  14526  cnfldstr  14530  cnfldds  14540