Theorem cndsex 14482

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11476	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		cnex 8091	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	mptex 5838	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥)))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2282	. 2 ⊢ abs ∈ V
5		df-sub 8287	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	2, 2	mpoex 6330	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥)) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2282	. 2 ⊢ − ∈ V
8	4, 7	coex 5250	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ↦ cmpt 4124   ∘ ccom 4700  ‘cfv 5294  ℩crio 5926  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976  ℂcc 7965   + caddc 7970   · cmul 7972   − cmin 8285  ∗ccj 11316  √csqrt 11473  abscabs 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-sub 8287  df-abs 11476

This theorem is referenced by:  cntopex  14483  cnfldstr  14487  cnfldds  14497