Theorem cndsex 14359

Description: The standard distance function on the complex numbers is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndsex	⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Proof of Theorem cndsex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 11354	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		cnex 8056	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	mptex 5817	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥)))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2279	. 2 ⊢ abs ∈ V
5		df-sub 8252	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	2, 2	mpoex 6307	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥)) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2279	. 2 ⊢ − ∈ V
8	4, 7	coex 5233	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ↦ cmpt 4109   ∘ ccom 4683  ‘cfv 5276  ℩crio 5905  (class class class)co 5951   ∈ cmpo 5953  ℂcc 7930   + caddc 7935   · cmul 7937   − cmin 8250  ∗ccj 11194  √csqrt 11351  abscabs 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-sub 8252  df-abs 11354

This theorem is referenced by:  cntopex  14360  cnfldstr  14364  cnfldds  14374